Wieso drei Fälle bei Betragsgleichung beachten? |x+4| = |1/2 x + 19/2 |

Question

Ich verstehe die ersten zwei Fälle aber den dritten kann ich nicht nachvollziehen

x

Answer 1

Hallo

 im dritten Fall ist doch 1/2x+19/2<0, x<-19 und der rechte Betrag muss durch -1/2x-19/2 ersetzt werden. Davor konnte man den Betrag  rechts einfach weglassen.

Gruß lul

Answer 2

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = -19 und x = -4

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche ( Fälle ) die getrennt untersucht
werden müssen.

Tip : bei dieser Aufgabe kann ein einfacherer Lösungsweg
gegangen werden.

Da beide Seiten positiv sind kann auch anstelle
| x + 4 | = | x / 2 + 19/4 |
Es gilt auch
( x + 4 ) ^2 = ( x / 2 + 19/4 ) ^2
quadratische Gleichung lösen
x = -35/6
und
x = 3/2

Answer 3

Fallunterscheidung wurde ja schon erklärt.

Alternative: Quadrieren

|x+4| = |1/2 x + 19/2  | * 2

| 2 x + 8 | = | x + 19 |         | ^2

(2x + 8)^2 = (x + 19)^2

Klammern auflösen. So kommst du ohne Fallunterscheidung zu einer quadratischen Gleichung und zu zwei Resultaten, falls ihr quadratische Gleichungen schon behandelt habt.

Answer 4

|x+4| = |\( \frac{1}{2} \) x + \( \frac{19}{2} \)|

Quadrieren:

(x+4)^2=(\( \frac{1}{2} \) x + \( \frac{19}{2} \))^2

(x+4)^2-(\( \frac{1}{2} \) x + \( \frac{19}{2} \))^2=0

[x+4+(\( \frac{1}{2} \) x+\( \frac{19}{2} \))]*[x+4-(\( \frac{1}{2} \) x+\( \frac{19}{2} \))]=0

x+4+\( \frac{1}{2} \) x+\( \frac{19}{2} \)=0

x₁=-9

x+4-(\( \frac{1}{2} \) x+\( \frac{19}{2} \))=0

x₂=11

Comments

Dann muß ich auch noch meinen Senf dazugeben

| x-4 | = | 1/2 * x + 19/2 |

daraus folgt
x + 4 = 1/2 * x + 19/2
x = 11
oder
x + 4 = - (1/2 * x + 19/2)
x = - 9