bei Betragsgleichungen (EDIT: Ungleichungen durch Betragsgleichungen ersetzt) ist stets zu unterscheiden, ob der Term innerhalb der Betragsstriche positiv oder negativ ist. An den Stellen, an denen der Term =0 ist, liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Links und rechts der Unstetigkeitsstelle ist eine gesonderte Rechnung aufzustellen.
Beispiel: \(|x-5|=1\). Für \(x=5\) wird der Term innerhalb der Betragsstriche =0, also ist für links von der Stelle - d.h. \(x<5\) und rechts von der Stelle - also \(x \ge 5\) jeweils eine Gleichung aufzustellen. Für \(x < 5\) ist der Term negativ, durch die Betragsstriche wird er wieder positiv, man schreibt:
$$ -(x-5) = 1 \quad x < 5$$
das Minuszeichen macht aus dem negativen Ausdruck \(x-5\) - negativ, da \(x<5\) - einen positiven Ausdruck, genau wie es die Betragsstriche tun würden. Die Lösung ist \(x=4\). Wichtig: Die Lösung muss(!) in dem angenommen Definitionsbereich - hier \(x<5\) - liegen; ansonsten wäre es keine Lösung. Hier ist es aber erfüllt, da \(x=4<5\).
Für die rechte Seite schreibt man entsprechend
$$ x-5 = 1 \quad x \ge 5$$
Die Lösung wäre \(x=5\) und diese Lösung liegt auch im angegebenen Definitionsbereich \(x=6 \ge 5\), ist also gültig. Graphisch lässt sich das ganze so darstellen:
Man sieht die Funktion \(f(x)=|x-5| \) mit der Unstetigkeitsstelle bei 5 (Knick) und die rechte Seite der Gleichung \(g(x)=1\). Beide Funktionen schneiden sich in \(x_1=4\) und \(x_2=6\). Das sind die beiden Lösungen der Gleichung.
Bei der Gleichung
$$|x-5| + |x+1| -2|x-2| = 1$$
gibt es drei Unstetigkeitsstellen bei 5, -1 und 2. Diese Stellen teilen den Zahlenbereich von \(-\infty\) bis \(+\infty\) in die vier Bereiche \(x < -1\), \(-1 \le x < 2\), \(2 \le x < 5\) und \(x \ge 5\).
$$x < -1: \quad -(x-5) - (x+1) + 2(x-2) = 1$$
$$-1 \le x < 2: \quad -(x-5) +(x+1) +2(x-2) =1$$
$$2 \le x < 5: \quad -(x-5) +(x+1) -2(x-2) =1$$
$$x \ge 5: \quad +(x-5) +(x+1) -2(x-2) =1 $$
Aus der ersten Gleichung erhält man \(0 =1 \) d.h. hier gibt es keine Lösung. Aus der zweiten Gleichung folgt \(2x+2=1\) d.h. \(x_1=-0,5\) und aus der dritten folgt \(x_2=4,5\). Die letzte Gleichung ergibt wieder keine Lösung. Die Graphik macht es vielleicht klarer:
dort sieht man das die Funktion \(f(x)\) jenseits von -1 und 5 immer den Wert 0 annimmt. Somit gibt es dort auch keinen Schnittpunkt mit der Geraden \(g(x)=1\).
Gruß Werner
