Betragsgleichung lösen mit mehreren Beträgen

Question

Aufgabe:

|x+2|-2|x-3|=4

               x+2, falls x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ -2

|x+2| =

              -(x+2), falls x+2 < 0 ⇔ x < -2

              x-3, falls x-3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
|x-3| =
              -(x-3), falls x-3 < 0 ⇔ x < 3

Dadurch zerfällt R in 3 Intervalle. Intervall I: {-∞;-2}; Intervall II: {-2;3}; Intervall III: {3,+∞}

In I:

|x+2|-2|x-3|=4

⇔ -(x+2)-2*(-(-x-3))=4

⇔ x = 12 (kein Element in I)

In II:

|x+2|-2|x-3|=4

⇔  x+2-2*(-(x-3))=4

⇔ x = \( \frac{8}{3} \) (Element von II)

In III:

x=4 (Element von III)

-> Lösungsmenge: {\( \frac{8}{3} \);4}

Problem/Ansatz:

Ich kann den Schritten folgen, ich verstehe nur nicht, warum man erst |x+2| durch -(x+2) ersetzt und |x-3| durch -(x-3), beim zweiten Mal dann aber |x+2|  durch x+2 ersetzt und |x-3| weiterhin -(x-3) bleibt. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

Answer 1

IxI kann x oder -x sein.

Wenn x≥0, dann IxI = x

Wenn x≤0, dann IxI = -x

Bsp: -3<0

I-3I = - (-3) = 3

  IxI = -   x

Jetzt schreib mal die oberen 4 Zeilen mit x+2 statt x ab, dann ist das Problem vielleicht gelöst.

zur Kontrolle:

Ix+2I kann x+2 oder -(x+2) sein.

Wenn x+2≥0, dann Ix+2I = x+2,        "Wenn x+2≥0..." bedeutet dasselbe wie "Wenn x≥-2 ..."

Wenn x+2≤0, dann Ix+2I = -(x+2)