Hallo Nury,
|A| = A für A ≥ 0 , |A| = - A für A ≤ 0
|x-3| + |x+2| - |x-4| = 3
die Nullstellen der Terme in den Beträgen geben dir die Intervalle, in denen sich bei keinem dieser Terme das Vorzeichen ändert:
x |
| -2 |
| 3 |
| 4 |
|
x+2 | - | 0 | + | + | + | + | + |
x-3 | - | - | - | 0 | + | + | + |
x-4 | - | - | - | - | - | 0 | + |
Für die 4 Fälle x ∈ ]- ∞, -2] , x ∈ ]-2 , 3] , x ∈ ]3, 4] , x ∈ ]4, ∞[
kannst du also immer alle Betrage auflösen und die zugehörige Gleichung ohne Beträge unter Berücksichtigung der jeweiligen Fallbedingung lösen.
Die negativ genommenen Terme aus den Beträgen sind jeweils grün unterlegt:
x ∈ ]- ∞, -2]: -x+3 + (- x-2) - (-x+4) = 3 → x = - 6 → L1 = {-6}
x ∈ ]-2 , 3] : -x+3 + x+2 - (-x+4) = 3 → x = 2 → L2 = {2}
x ∈ ]3 , 4] : x-3 + x+2 - (-x+4) = 3 → x = 8/3 < 3 → L3 = { }
x ∈ ]4 , ∞[ : x-3 + x+2 - (x-4) = 3 → x = 0 < 4 → L4 = { }
Die Vereinigung der 4 Teillösungsmengen ergibt dann die Lösungsmenge der Betragsgleichung:
L = { - 6 ; 2 }
Gruß Wolfgang