Betragsgleichung mit 3 Beträgen: |x-3|+|x+2|-|x-4|=3

Question

|x-3|+|x+2|-|x-4|=3

Ich scheitere immer noch am Aufstellen der einzelnen Fälle. Daher wäre ich euch sehr verbunden, wenn ihr mir beim Aufstellen de Fälle auch sagen könntet warum ihr + oder - verwendet.

Schon mal danke sehr im Voraus

Answer 1

Hallo Nury,

|A| = A  für  A ≥ 0   ,  |A| = - A   für  A ≤ 0

|x-3| + |x+2| - |x-4| = 3

die Nullstellen der Terme in den Beträgen geben dir die Intervalle, in denen sich bei keinem dieser Terme das Vorzeichen ändert:

x		-2		3		4
x+2	-	0	+	+	+	+	+
x-3	-	-	-	0	+	+	+
x-4	-	-	-	-	-	0	+

Für die 4 Fälle  x ∈ ]- ∞, -2]  ,   x ∈ ]-2 , 3]  ,    x ∈ ]3, 4]  ,  x ∈ ]4, ∞[

kannst du also immer alle Betrage auflösen und die zugehörige Gleichung ohne Beträge unter Berücksichtigung der jeweiligen Fallbedingung lösen.

Die negativ genommenen Terme aus den Beträgen sind jeweils grün unterlegt:

x ∈ ]- ∞, -2]:    -x+3 + (- x-2) - (-x+4) = 3  →  x = - 6         →  L₁ = {-6}

x ∈ ]-2 , 3] :    -x+3 + x+2 - (-x+4) = 3   →  x = 2               →  L₂ = {2}

x ∈ ]3 , 4] :      x-3 + x+2 - (-x+4) = 3  →  x = 8/3  < 3       →  L₃ = { }

x ∈ ]4 , ∞[ :     x-3 + x+2 - (x-4) = 3  →  x = 0  < 4            →  L₄ = { }

Die Vereinigung der 4 Teillösungsmengen ergibt dann die Lösungsmenge der Betragsgleichung:

          L = { - 6 ; 2 }

Gruß Wolfgang

Comments

das hieße doch, dass bei x<-2 damit x=-6 die gleichung so lauten müsste:

-x+3-x-2+x-4=3 dann nach x umstellen etc

was ich mir aber immer noch nicht erschließen kann ist, warum es -4 lautet und nicht +4..

das gleiche Problem habe ich auch bei der Lösungsmenge 2. warum es da wieder -4 und nicht +4 lautet.

der rest erschließt sich mir

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-x + 3 - x - 2 + x - 4 = 3  

ergibt sich doch aus

-x+3-x-2 - ( -x+4)=3

Das rote -  steht in der Gleichung! 

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und woher kriege ich die (-x+4)? in der Betragsgleichung ist doch (x-4) gegeben?

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Für x ≤ -2 sind aber alle Terme in den Beträgen ≤ 0 (vgl. Tabelle).

 Beim Auflösen ist also auch x-4 negativ zu nehmen: -x+4

Habe dir die Antwort auf die Ausrechnung aller Fälle erweitert

Answer 2

Da Betragsgleichungen oder Ungleichungen
recht verwirrend werden können
markiere ich mir die zu untersuchende
Fälle ( Bereiche ) immer auf einem Zahlstrahl

Falls ich bei Fall 3 und 4 behilflich sein soll oder
bei Fragen dann wieder melden.

Comments

nice, danke schön. so eine verständliche Rechenerklärung schritt für schritt hatte mir noch gefehlt. Danke

bloß eine letzte frage hätte ich.. und zwar wie kommt man auf die Tabelle, die Wolfgang aufgestellt hat?

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Die Frage gebe ich weiter an Wolfgang.

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Schöne Illustration der Fälle mit dem Zahlenstrahl.

Hinweis (Kritik): Der Pfeil gibt an, in welche Richtung die Werte wachsen. Deshalb macht man den hier nur rechts.

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Lu, du weißt ich bin Autodidakt.
Meine Notation entspricht nicht immer
dem Standard.
Ich bin von der Beschriftung z.B. einer
x-Achse ausgegangen.

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Ich bin von der Beschriftung z.B. einer
x-Achse ausgegangen.

Auch dort wird standardmässig nur in einer Richtung (+) ein > hingemalt . https://de.wikipedia.org/wiki/DIN_461

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Hallo Lu,
das wird wohl nicht immer so streng gesehen
aus Kusch/Rosenthal Mathematik...

Desweiteren

meine eigenen Gedanken waren. Darstellung so

----------|--------------|---------

          -2                 3

oder um anzudeuten das die Zahlengerade
beidseitig noch weitergeht so

<----------|--------------|--------->

          -2                3

Finde ich sogar treffender.