Betragsgleichung Lösen mit 2 Beträgen

Question

Aufgabe:

\( |x+1|=|x-1| \)

Problem/Ansatz:

Wie löst man das?

Comments

Unterscheide 3 Fälle.

1.x<-1

2. -1<=x<1

3. x>=1

Answer 1

Aloha :)

Da es sich hier um eine Gleichung handelt, ist der einfachste Weg, dass du beiden Seiten quadrierst, dann die möglichen Lösungs-Kandidaten ausrechnest und zum Schluss die Kandidaten in die Ausgangsgleichung einsetzt, um zu testen, ob sie die Gleichung wirklich erfüllen. Dieses Einsetzen zum Schluss ist nötig, weil das Quadrieren keine Äuquivalenzumformung ist.

$$|x+1|=|x-1|\implies(x+1)^2=(x-1)^2\implies x^2+2x+1=x^2-2x+1$$$$\implies 2x=-2x\implies x=0$$

Wir prüfen die Lösung \(x=0\) durch Einsetzen:$$|0+1|=1=|0-1|\quad\checkmark$$

~plot~ abs(x+1) ; abs(x-1) ; {0|1} ; [[-6|6|0|5]] ~plot~