Gleichung mit mehreren Beträgen eleganter lösen

Question

Hi, vorhin wurde schon so eine ähnliche Frage gestellt. aber ich hätte da nun mal ein paar eigene Fragen.

|x-2| + |x-3| >= |x+5|

Mein vorgehen währe nun jeden Betrag erst einmal aufzulösen, nach dem Schema hier:

                             |x+5| ==> x>=-5  sowie x<-5 

Danach würde ich alle 6 Fälle miteinander vergleich, also alle möglichen Kompilationen berechnen und auf diesen umständlichen Weg auf die Lösung  (-infty,0) U (10,infty) kommen.

Die Frage wäre nun, wie und warum könnte man dies eleganter lösen? Gibt es ein Schema F, also irgendwelche bestimmten Merkmale woran man sofort erkennen kann, dass bei einer Ungleichung der umständliche Weg umgangen werden kann?

Wie immer

Answer 1

Hallo Bango,

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮

Betrachte die einzelnen Intervalle zwischen den Nullstellen der Terme in der Beträgen. In diesen Intervallen kannst du die Beträge jeweils auflösen, indem du den Betrag

- weglässt, wenn der Term im Betrag ≥ 0  ist

- den Term im Betrag negativ nimmst, wenn dieser < 0 ist:

1. Fall:

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮ ∧  x < - 5

⇔  - x + 2 + (-x+3)  ≥  - x - 5  ∧  x < - 5

⇔  x < - 5              →       L₁ =  ] - ∞ ; - 5 [ 

2. Fall:

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮ ∧  x ≥ - 5  ∧  x < 2

⇔  - x +2  +  (-x+3)  ≥  x + 5  ∧   x ≥ - 5  ∧  x < 2

⇔  -5  ≤  x  ≤  0     →     L₂ =  [ - 5 ; 0 ]  

3. Fall: 

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮   ∧  x ≥ 2  ∧  x ≤ 3  

⇔  x - 2  + (- x + 3)  ≥  x + 5   ∧  x ≥ 2  ∧  x ≤ 3  

keine Lösung      →      L₃ = { }

4. Fall: 

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮ ∧   x > 3

⇔  x - 2 + x - 3 ≥  x + 5  ∧  x > 3  

⇔   x ≥ 10           →       L₄ =  [ 10 ; ∞ [

L  =  L₁ ∪ L₂ ∪ L₃ ∪ L₄  = ] - ∞ ;  0 ]  ∪ [ 10 ; ∞ [  

 

Gruß Wolfgang

Comments

Ok, dass macht für mich Sinn, bis auf den Punkt, dass ich nicht verstehe warum manchmal die Beträge negativ werden und manchmal nicht. siehe:

3. Fall: 

⎮x - 2⎮ + ⎮x - 3⎮ ≥ ⎮x + 5⎮   ∧  x ≥ 2  ∧  x ≤ 3  

⇔  x - 2  + (- x + 3)  ≥  x + 5   ∧  x ≥ 2  ∧  x ≤ 3

müsste hier nicht auch ⎮x + 5⎮negativ werden oder ist es irrelevant, da es nicht im Intervall liegt und bleibt deshalb positiv?

---

Für  x ∈ [2 ; 3]   ist der Term   x+5  positiv, der Betrag kann also einfach entfallen:

|A|  =   A   falls  A  ≥ 0

         - A   falls  A < 0

---

ok ich habs verstanden

---

Möchte mich jetzt nochmal bei dir und allen anderen Bedanken, nun hab ich es endlich mal verstanden, was eine Prozedur.

Wünsche noch eine schönes Wochenende

---

Wünsche ich dir auch.

Answer 2

|x - 2| + |x - 3| ≥ |x + 5|

Nullstellen der Beträge x = -5 oder x = 2 oder x = 3

Darum unterscheidet man folgende vier Fälle

1. Fall: x ≤ -5

2. Fall: -5 ≤ x ≤ 2

3. Fall: 2 ≤ x ≤ 3

4. Fall: x ≥ 3

Comments

Okay; aber wie löse ich dann die einzelne Gleichungen auf?

Macht für mich gerade kein Sinn, bzw. verstehe dein Gedankengang nicht.

---

Für die Fälle kannst du die Beträge einfach nach folgender Regel weglassen.

|z| = z für z ≥ 0

|z| = -z für z ≤ 0

Answer 3

Du brauchst nur die Fälle x≤2 und x≥-5 zu unterscheiden. Darin ist alles enthalten. Lösung x≤0 oder x≥10.

Comments

x≥-5 verstehe ich, aber x≤2 verstehe ich nicht, denn es gebe ja noch x≤3,was ja sicherer wäre?

---

Recht hast du.

---

Ok stop ich glaube wir haben uns beide vermacht oder? Wäre nicht x>= 3 und x<-5 besser?

Also kurz gesagt, ich nehme mir die einzelnen Fälle der Beträge und davon immer den "sichersten" Wert, z.B. x<3, x<5 , x<20, wäre dann x<3 der sichere Wert, und dass analog zu x>=3, x> 5 , x>= 20 , wäre x>=20 der sichere Wert.

---

> wäre x>=20 der sichere Wert. 

alle   x>=20  sind natürlich ganz sicher in der Lösungsmenge. Aber diese enthält auch noch andere Werte! 

(vgl. meine Anwort)

Answer 4

Eine " elegante Methode " gibt es meiner
Meinung nach nicht.

Betrags(un-)gleichungen oder Ungleichung
können verwirrend werden. Ich empfehle
die Standardmethode " Fallunterscheidung ".

Du schriebst :
" Danach würde ich alle 6 Fälle miteinander
vergleichen, " . Das ist schon einmal falsch.

Vorgehensweise
1.) Ermittlung wann die Betragsterme zu
null werden. Ab dann müssen sie unterschiedlich
behandelt werden.
x = 1
x = 3
x = -5

2.) Zahlstrahlzeichen, Die Nullstellen
eintragen und die Bereiche festlegen.

Das sind bei dir nur 4 Bereiche, nicht 6.

Im Fall 1 werden alle Terme in den Betragszeichen
negativ. Das heißt sie müssen mal ( -1 ) genommen
werden. Es gilt

( x - 2 ) * ( -1 ) + ( x - 3 ) * ( -1 ) ≥ ( x + 5 ) * ( -1 )
-x + 2 - x + 3 ≥ -x - 5
10 ≥ x
x < 10
Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung x < - 5
( x < 10 ) und ( x < - 5)
ergibt
x < -5

Alle Fälle so abarbeiten.
Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Ok Verstanden bis auf den Punkt,siehe mein letztes Kommentar unter dem Beitrag von Wolfgang