Gültigkeit einer Betragsungleichung beweisen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass für alle a, b, c ∈ R gilt

ca − cb ≤ |c|(|a| + |b|)

Problem/Ansatz:

ca − cb ≤ |c|(|a| + |b|)

⇔ c(a − b) ≤ |c|(|a| + |b|)

⇔ c²(a − b)² ≤ |c|²(|a| + |b|)²

⇔ c²(a² -2ab+b²) ≤ |c|²(|a|² + 2|a||b|+|b|²)

⇔ c²(a² -2ab+b²) ≤ c²(a² + 2|a||b|+b²)

⇔ a² -2ab+b² ≤ a² + 2|a||b|+b²

⇔ -2ab ≤ 2|a||b|

⇔ -ab ≤ |a||b|

⇔ -ab ≤ |ab|

Meine Frage: Ist bis dahin alle korrekt und wenn ja, genügt das als Beweis oder müsste hier nochmal explizit zeigen, dass -ab ≤ |ab| ist (durch Fallunterscheidung)?

Answer 1

Hallo:-)

Dein Ansatz klappt nicht, da du ja mit der Behauptung startest. Die sollst du ABER zeigen. Mit dem Betrag kannst du schonmal allgemein das hier feststellen: \(\forall x\in \mathbb{R}:\ x\leq |x|\).

Also gilt doch auch: \(c\cdot a-c\cdot b\leq |c\cdot a-c\cdot b|=|c\cdot (a-b)|\). Der Rest ist im Grunde nur noch das Ausnutzen der Dreiecksungleichung.