Betragsungleichung Fallunterscheidung

Question

In welchen Bereichen der (x, y)-Ebene liegen diejenigen Punkte, für welche die Ungleichung ¨

$$\left| x \right| -\left| x-1 \right| +\left| y \right| >3$$ erfüllt ist?

Ich habe nach y Betrag umgestellt und dann mit der fallunterscheidung angefangen

X<0 und x>0

In den Lösungen werden aber 3 Fallunterscheidungen gemacht (habe sie leider grade nicht da )

Ich glaube es wurde nochmal  X kleiner gleich 0 und kleiner 1 unterschieden .

Meine Frage wie Löse ich jetzt die Ungleichung ?

Answer 1

|x| - |x-1| + |y|  > 3

Du hast ja zwei Beträge  mit  nem x drin:  |x| und  |x-1| .

Bei dem 1. darfst du die Betragsstriche weglassen, wenn x ≥ 0

und beim zweiten, wenn x-1  ≥ 0   ,   also   x  ≥ 1 

Also hast du drei Fälle :

1.           x  ≥ 1    dann können alle Beträge weg

und du hast statt   |x| - |x-1| dann  x - ( x-1) also einfach nur 1.

2 .     Für  x ≥ 0   aber x<1   wird aus  

|x| - |x-1|  dann      x -     ( -( x-1))  also    2x - 1

denn beim zweiten Teil kommt ja ein minus davor

3.  x<0  beide Beträge mit minus auflösen gibt dann

    -x  - ( -( x-1))   =  - x + x -1   also einfach nur  -1