Betragsgleichung und Betragsungleichung

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

1.)  Für x∈ℝ sei die Bertagsungleichung

| |x|-1 | < |x-1|

und die Betragsgleichung

| |x|-1 | * | |x|+1 | = | x² - 1 |

gegeben. Bestimme die Lösungsmenge und begründe.

2.)  Des weiteren sind für x, y ∈ℝ die Funktionen

$$ \max { \left\{ x,y \right\}  } :=\left\{ \begin{matrix} x & falls\quad x\ge y \\ y & sonst \end{matrix} \right\} $$

sowie

$$ \min { \left\{ x,y \right\}  } :=\left\{ \begin{matrix} x & falls\quad x\le y \\ y & sonst \end{matrix} \right\} $$

Finde je eine Formel welche das Maximum max{x,y} bzw. das Minimum min{x,y} zweier reeller Zahlen x,y∈ℝ durch die Terme x,y und |x-y| ausdrückt und beweise diese.

Zu 1.) Meine Vermutung ist, dass x<0 die Ungleichung bzw. die Gleichung erfüllen, weiß aber nicht wie ich das zeigen kann.

zu 2.) weiß ich nicht was da zu machen ist, bzw. wie da gemeint ist.

Comments

Tipp: \(\max\{x,y\}=\frac12\left(x+y+\vert x-y\vert\right)\).

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Vom Duplikat:

Titel: Funktionen max{x,y} und min{x,y} gegeben. Formeln gesucht

Stichworte: analysis,minimum,maximum,funktion,formel

Wir definieren für x,y∈ℝ die Funktionen:

max{x,y}:= x     falls  x≥y                      sowie             min{x,y} := x     falls x≤y

                 y     sonst                                                                 y      sonst

Finden Sie je eine Formel, welche das Maximum max{x,y} bzw. das Minimum min {x,y} zweier reeler Zahlen x,y ∈ℝ durch die Terme x,y und Ix-yI ausdrückt und beweisen Sie diese.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte, da ich schon bei einem Ansatz scheitere und mir somit nicht klar ist wie man diese Aufgabe lösen könnte.

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Hatten wir gestern schon einmal

https://www.mathelounge.de/475648/betragsgleichung-und-betragsungleichung

Answer 1

Für ein schon einmal

Comments

|x|-1 | * | |x|+1 | = | x² - 1 |

Ich meine es gilt
| a - b | * | a + b |
| ( a - b ) * ( a + b ) |
| a^2 - b^2 |

|x|-1 | * | |x|+1 | = | x² - 1 |
| x^2 - 1 |
und entspricht damit der rechten Seite

1.) und 2.)
( x < 0 ) und x∈ℝ
wäre x < 0

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Danke, den ersten Teil habe ich jetzt verstanden.

Zum zweiten Teil ist mir gerade eine Idee zur Lösung gekommen, und möchte wissen ob diese richtig ist.

Mein Lösungsansatz

$$ \max { \left\{ x,y \right\}  } :=\quad \left\{ \begin{matrix} x & falls\quad \left| x-y \right| =x-y \\ y & sonst \end{matrix} \right\} $$

und

$$ \min { \left\{ x,y \right\}  } :=\quad \left\{ \begin{matrix} x & falls\quad \left| x-y \right| >x-y \\ y & sonst \end{matrix} \right\} $$

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Mir ist bisher noch nichts eingefallen.

Deine Funktionen stellen aber keinen
Fortschritt gegenüber den Fallunterscheidungen
in der Frage dar.

Ich denke es soll eine Lösung ohne
Fallunterscheidung gefunden werden.

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Wie wäre es mit diesem Einfall
für eine  min / max Funktion ?

ich habe jetzt momentan keine Zeit diesen
durchzudenken.

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Schaut auf den ersten Blick gut aus. Werde dem selber weiter nachgehen.

Dankeschön.

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1.) Die Mitte bilden ( x + y ) / 2

2.) Dann die Hälfte des Differenzbetrages
absolut setzen

max 1 + 2
min : 1 - 2

Answer 2

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Größtes_und_kleinstes_Element

Beweise die Formeln durch Fallunterscheidung.

Also

Fall 1: x1 <= x2

Fall 2: x1 > x2

Comments

Tipp:

$$\max\{x,y\}=\frac12\left(x+y+\vert x-y\vert\right)$$

(oops der Kommentar sollte eigentlich unter der Frage landen...)