Frage bezüglich Betragsungleichung

Question

ich hoffe mir kann jemand bei folgender Betragsungleichung helfen :)

Aufgabe: ΙΙ x-5 Ι -3 Ι ≤ 4

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Also ich weiß auf jedenfall schonmal, dass es 4 Fälle gibt aufgrund der 2 Betragsgleichungen.

Nur wie gehe ich nun weiter vor?

Vielen Dank :)

Answer 1

1. Fall   x ≥ 5.  Dann ist jedenfalls | x-5| =  x-5  und du hast 

 ΙΙ x-5 Ι -3 Ι ≤ 4

⇔  Ι x -8  Ι ≤ 4

 Das heißt   -4 ≤ x-8   ≤ 4
⇔     4 ≤ x   ≤ 12   und wegen  x ≥ 5. gibt das für

die Lösungsmenge   5  ≤ x   ≤ 12   .

1. Fall   x < 5.  Dann ist jedenfalls | x-5| = - x + 5  und du hast 

 ΙΙ x-5 Ι -3 Ι ≤ 4

⇔  Ι - x + 2   Ι ≤ 4

⇔  Ι   x   -  2   Ι ≤ 4

 Das heißt   -4 ≤ x-2   ≤ 4

  - 2  ≤ x     ≤  6     und wegen   x < 5.

gibt   das      - 2  ≤ x     < 5 .

Also insgesamt    -2   ≤ x   ≤ 12   .

Answer 2

Ich bearbeite mal den ersten Betrag.

||x - 5| - 3| ≤ 4

-4 ≤ |x - 5| - 3 ≤ 4

-1 ≤ |x - 5| ≤ 7

Kannst du das jetzt selber losen ? Du kannst dazu auch beide Ungleichungen getrennt behandeln. Zusammen kommt man denke ich auf die Lösung -2 ≤ x ≤ 12

Answer 3

Hallo David,

ein Betrag kann weggelassen werden, wenn der Term im Betrag ≥ 0  ist.  Ist der Term < 0, kann man den Betrag weglassen, wenn man stattdessen den negativen Term nimmt.

Außerdem gilt für eine positive Zahl p :    | Term | ≤ p  ⇔  - p ≤ Term ≤ p

| |x - 5| - 3 | ≤ 4

Fall 1:  x ≥ 5

| x - 5 - 3 | ≤ 4  ⇔ | x -8 | ≤ 4 ⇔  -4 ≤ x - 8 ≤ 4  ⇔ 4 ≤ x ≤ 12 

L₁ = [ 5 ; 12 ]

Fall 2:  x < 5

| -x + 5 - 3 | ≤ 4 ⇔ | 2 - x | ≤ 4 ⇔  - 4 ≤ 2-x ≤ 4  ⇔  - 6 ≤ -x  ≤ 2  ⇔ 6 ≥ x ≥ -2

L₂ = [ -2 ; 5 [

L = L₁ ∪ L₂ = [ -2 ; 12 ]

Gruß Wolfgang