Mal oder kartesisches Produkt?

Question

Aufgabe:

Es sei \( R=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \). Geben Sie \( a, b, c \in R \) mit \( a \neq 0 \) an, für die \( a b=a c \) gilt, aber nicht \( b=c \).

Problem/Ansatz:

wofür steht \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)  ist das nicht das kartesische Produkt?
also ist ab = a mal b

oder a kartesisches Produkt b ?

Beispiel wenn ab = a mal b

\(\begin{array}{l}a=(0,1) \\b=(12,8) \\c=(13,8)\end{array}\)

\( a b=(0,1)(12,8)=(0,8) \)
\( a c=(0,1)(13,8)=(0,8) \)
\( a b=a c \) aber \( b \neq c \)

Answer 1

\(a,b,c\in R\) bedeutet, dass es ganze Zahlen

\(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\) gibt mit

\(a=(a_1,a_2), b=(b_1,b_2), c=(c_1,c_2)\).

\(ab\) ist dann \((a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2):=(a_1b_1,a_2b_2)\).

Dein Beispiel ist also OK!