Aloha :)
zu i) Hier hilft die Kettenregel:$$f(x)=\frac{e^{x^2}\green{-1}}{e^{x^2}+1}=\frac{(e^{x^2}\green{+1})\green{-2}}{e^{x^2}+1}=1-\frac{2}{e^{x^2}+1}=1-2\left(\pink{e^{x^2}+1}\right)^{-1}$$$$f'(x)=2\left(\pink{e^{x^2}+1}\right)^{-2}\cdot\pink{e^{x^2}\cdot2x}=\frac{4xe^{x^2}}{(e^{x^2}+1)^2}$$
zu ii) Auch das ist ein Patient für die Kettenregel:$$g(x)=\log(x\cdot\log x)=\log x+\log(\pink{\log x})$$$$g'(x)=\frac1x+\frac{1}{\pink{\log x}}\cdot\pink{\frac1x}=\frac1x\left(1+\frac{1}{\log x}\right)=\frac{\log x+1}{x\log x}$$
zu iii) Und nochmal kommt die Kettenregel zur Anwendung.
Wir überlegen uns zuerst die Ableitung von \(y=\arctan(x)\), indem wir sie auf die Ableitung der Umkehrfunktion \(x=\tan y\) zurückführen:$$\left(\arctan x\right)'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}\left(\frac{\sin y}{\cos y}\right)}=\frac{1}{\frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$$
Für die innere Ableitung brauchst du zusätzlich die Quotientenregel:$$h(x)=\frac12\arctan\left(\pink{\frac{2x}{1-x^2}}\right)$$$$h'(x)=\frac12\cdot\frac{1}{1+\left(\pink{\frac{2x}{1-x^2}}\right)^2}\cdot\pink{\frac{2\cdot(1-x^2)-2x\cdot(-2x)}{(1-x^2)^2}}=\frac{1}{1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}\cdot\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$$$$\phantom{h'(x)}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2+4x^2}=\frac{1+x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1}{1+x^2}$$
