Entspricht die Lösungsmenge der Vektoren R^3?

Question

Aufgabe:

v^1= \( \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \) , v^2 = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \) , v^3 = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Ist L(v^1,v^2,v^3)= \( ℝ^{3} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer 3x3-Matrix gibt das Volumen an, das die 3 Spaltenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen \(\ne0\) ist, spannen die 3 Vektoren den \(\mathbb R^3\) auf, sonst nicht.

Es reicht daher aus, die Determinante zu bestimmen:$$\left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\2 & 0 & 1\\2 & 2 & 1\end{array}\right|=2\cdot(0\cdot1-2\cdot1)=-4\ne0\quad\checkmark$$

Das Minuszeichen sagt nur, dass die 3 Vektoren ein Linkssystem und kein Rechtssystem aufspannen. Das Entscheidende ist hier, dass die Determinante \(\ne0\) ist.

Answer 2

Die drei Vektoren sind linear unabhängig,
spannen daher einen 3-dimensionalen Raum,
also den ganzen Raum auf.