Was ist die erste Ableitung von dieser Funktion?

Question

Aufgabe:

Was ist die erste Ableitung von dieser Funktion?

Text erkannt:

b) \( f(x)=(3 x+2)^{2} \cdot e^{x} \)
1)
\( \begin{array}{l} v=3 x+2 \quad v^{\prime}=3 \\ u=x^{2} \quad u^{\prime}=2 x \quad u^{\prime}(v(x))=2 \cdot(3 x+2)=6 x+4 \end{array} \)
2)
\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =(6 x+4) \cdot e^{x}+e^{x} \cdot(3 x+2)^{2} \\ & =6 x e^{x}+4 e^{x}+e^{x}+5 x^{2}+6 x+4+4 \\ & =6 x e^{x}+5 e^{x}+9 x^{2}+6 x+8 \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Hier ist mein Lösungsweg, ist dieser aber richtig?

Comments

Nein, so geht das nicht. Vielleicht fällt es dir leichter, wenn du zunächst den Faktor \((3x+2)^2\) ausquadrierst zu \((9x^2+12x+4)\), und dann erst ableitest.

Answer 1

Aloha :)

Du hast dich hier heftig verfummelt. Hier sind 3 einfache Wege möglich:

1) Du rechnest die Klammer \((3x+2)^2\) aus und kommst mit der Produktregel aus:$$f(x)=(3x+2)^2\cdot e^x=\underbrace{(9x^2+12x+4)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{(18x+12)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(9x^2+12x+4)}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}=(9x^2+30x+16)\cdot e^x$$

2) Du verwendest zur Ableitung der Klammer \((\pink{3x+2})^2\) die Kettenregel, darfst dann aber nicht vergessen, die pinke innere Funktion nachzudifferenzieren:$$f(x)=\underbrace{(\pink{3x+2})^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\overbrace{2\cdot(\pink{3x+2})}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\pink{3}}^{\text{innere Abl.}}}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{(\pink{3x+2})^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=6\cdot\green{(3x+2)\cdot e^x}+(3x+2)\cdot\green{(3x+2)\cdot e^x}=(6+(3x+2))\cdot\green{(3x+2)\cdot e^x}$$$$\phantom{f'(x)}=(3x+8)(3x+2)\,e^x$$

3) Du verwendest die erweiterte Produktregel: \((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\)$$f(x)=\underbrace{(3x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{(3x+2)}_{=v}\cdot\underbrace{e^x}_{=w}$$$$f'(x)=\underbrace{3}_{=u'}\cdot\underbrace{(3x+2)}_{=v}\cdot\underbrace{e^x}_{=w}+\underbrace{(3x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{3}_{=v'}\cdot\underbrace{e^x}_{=w}+\underbrace{(3x+2)}_{=u}\cdot\underbrace{(3x+2)}_{=v}\cdot\underbrace{e^x}_{=w'}$$$$\phantom{f'(x)}=6\cdot\green{(3x+2)\cdot e^x}+(3x+2)\cdot\green{(3x+2)\cdot e^x}=\text{weiter wie bei 2)}$$

Answer 2

v' direkt mit Kettenregel: 2(3x+2)*3 = 18x+12

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Hallo,

\( f(x)=(3 x+2)^{2} e^{x}\\\Rightarrow f'(x)=2(3x+2)\green{\cdot3e^x} + (3x+2)^2 e^x\\=(3x+2)(3x+8)\cdot e^x\\=e^{x}\left(9 x^{2}+30 x+16\right) \)

Du hast die innere Ableitung vergessen.

Außerdem hast du in deiner vorletzten Zeile falsch ausmultipliziert.

:-)