$$\text{Sei } \mathbb Z [i]:= \{ a+bi\vert a,b \in \mathbb Z \} \subseteq \mathbb C. \text{ Mit der üblichen Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen ist }$$
$$ \mathbb Z [i] \subset \mathbb C \text{ ein Integritätsbereich. } \text{ Wir betrachten die Abbildung}$$
$$ß: \mathbb Z[i] \rightarrow \mathbb N_0, a+bi \rightarrow \vert a+bi \vert^2= a^2+b^2$$
$$\text{a) Für alle } z \in \mathbb C \text{ existiert ein Element } a+bi \in \mathbb Z[i] \text{ mit } \vert z-(a+bi)\vert \leq \frac{1}{\sqrt{2}}.$$
$$b) \text{ Für alle } z,w \in \mathbb Z[i] \text{ mit } w \neq 0 \text{ gibt es ein } q \in \mathbb Z[i] \text{ mit } ß(z-q \cdot w) \leq \frac{1}{2} ß(w)$$
$$\text{c) ß ist eine Euklidische Funktion auf } \mathbb Z[i].$$
$$\text{d) Berechnen Sie den ggT von 9 und 3+4i } \in \mathbb Z [i] \text{ mithilfe des Euklidischen Algorithmus in } \mathbb Z[i].$$
Hätte vielleicht jemand einen Tipp, wie man an die Aufgaben herangeht? Habe mich an der a und b probiert, aber bis jetzt noch keinen Erfolg gehabt. Vielen Dank im Voraus!
