Verschiedene Wachstumgesetze und das Rechnen damit

Question

Aufgabe:

Eine Bakterienkultur verdreifacht sich alle vier Stunden. Zurzeit sind es ca. 1.2 Millionen Bakterien.

Aufgabenstellung

a) Geben Sie die Funktionsgleichung für das Wachstumsgesetz auf mindestens zwei verschiedene Varianten an! Erklären Sie! Wie viele Bakterien gibt es nach einem Tag? Wie sieht der Graph dieser Funktion aus?

b) Um wie viel Prozent wächst die Kultur in einer Stunde?

c) Erich behauptet: Wenn ich den Wachstumsfaktor \( a \) für die Zeiteinheit \( t_{1} \) gegeben habe, dann ist der neue Wachstumsfaktor \( b \) für die Zeiteinheit \( t_{2} \)
\( b=a^{\frac{t_{1}}{t_{2}}} \)

Hat Erich Recht? Erklären Sie den Sachverhalt anhand unseres Beispiels!

Problem/Ansatz:

Answer 1

Eine Bakterienkultur verdreifacht sich alle vier Stunden. Zurzeit sind es ca. 1.2 Millionen Bakterien.

a) Geben Sie die Funktionsgleichung für das Wachstumsgesetz auf mindestens zwei verschiedene Varianten an! Erklären Sie! Wie viele Bakterien gibt es nach einem Tag? Wie sieht der Graph dieser Funktion aus?

f(x) = 1.2·3^(x/4) = 1.2·1.3161^x

b) Um wie viel Prozent wächst die Kultur in einer Stunde?

Um 31.61%.

c) Erich behauptet: Wenn ich den Wachstumsfaktor a für die Zeiteinheit t1 gegeben habe, dann ist der neue Wachstumsfaktor b für die Zeiteinheit t2
b = a^(t1/t2).
Hat Erich recht? Erklären Sie den Sachverhalt anhand unseres Beispiels!

Erich hat nicht recht. Der obige Wachstumsfaktor von 3 gilt für 4 Stunden. Der Wachstumsfaktor 1.3161 gilt für eine Stunde. Jetzt gilt nicht 1.3161 = 3^(4/1), sondern eher 1.3161 = 3^(1/4)