Beweis der linearen Unabhängigkeit von Vektorräumen

Question

Kann mir jemand bei diesem Beweis helfen?

Es sei f: V-> W eine lineare Abbildung zwischen realen Vektorräumen V und W. Seinen weiterhin

v1, v2, v3, ... ,vk eV (eV : Element von V) 

(a) 
Zeigen Sie: Wenn die Familie (f(v1), f(v2)...., f(vk)) linear unabhängig ist, dann
ist auch die Familie (v1, v2, v3, ... , vk) linear unabhängig.

(b) 
Zeigen Sie, dass die Umkehrung von (a) falsch ist. Genauer:
Finden Sie eine lineare Abbildung f : V - > W und Vektoren v1, v2, v3, ... ,vk eV (eV: Element von V),
sodass (v1, v2, v3, ..., vk) linear unabhängig ist und (f(v1), f(v2),.... f(vk)) linear abhängig ist. Zeigen Sie dabei die Richtigkeit Ihres Beispiels.

Ich stecke echt ziemlich fest und wäre dankbar für jeden Ansatz.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Wegen der Linearität von \(f\) gilt:$$a_1\vec v_1+a_2\vec v_2+\ldots+a_k\vec v_k=\vec 0\quad\implies$$$$ f(a_1\vec v_1+a_2\vec v_2+\ldots+a_k\vec v_k)=\vec 0\quad\implies$$$$a_1f(\vec v_1)+a_2f(\vec v_2)+\ldots+a_kf(\vec v_k)=\vec 0$$Das heißt im Umkehrschluss:$$a_1f(\vec v_1)+a_2f(\vec v_2)+\ldots+a_kf(\vec v_k)\ne\vec 0\implies\vec a_1v_1+a_2\vec v_2+\ldots+a_k\vec v_k\ne\vec 0$$

Wenn die \(f(\vec{v}_i)\) linear unabhängig sind, gilt die linke Seite für alle \((a_1;a_2;\ldots;a_k)\in\mathbb R^k\setminus\{\vec 0\}\). Dann gilt auch die rechte Seite für alle \((a_1;a_2;\ldots;a_k)\in\mathbb R^k\setminus\{\vec 0\}\) und die \(\vec{v}_i\) sind ebenfalls linear unabhängig.

zu b) Betrachte die lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) mit \(F=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\)

Dann gilt für beliebige Vektoren \(\binom{a}{b}\in\mathbb R^2\):\(\quad F\binom{a}{b}=\binom{a}{0}\)

Die beiden Vektoren \(\binom{1}{0}\) und \(\binom{1}{1}\) sind linear unabhängig, haben aber das gleiche Bild \(\binom{1}{0}\).

Die Bilder sind also linear abhängig, obwohl die Eingangsvektoren linear unabhängig sind.