Limes superior, Implikation zeigen

Question

Ich habe folgende Aufgabe zum limes superior und komme nicht wirklich weiter, wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Sei \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine beschränkte reelle Folge. Zeigen Sie die folgenden Implikationen:
(a) \( s>\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n} \Rightarrow \exists N \in \mathbb{N}: s>x_{n} \forall n \geq N \).
(b) \( s<\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n} \Rightarrow \) es gibt unendlich viele \( x_{n} \) mit \( s<x_{n} \).
Gilt jeweils die Umkehrung?

Answer 1

\( s>\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n} \Rightarrow \exists N \in \mathbb{N}: s>x_{n} \forall n \geq N \)

\( i=\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n} \) ist der größte Häufungspunkt

der  Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) .

Wenn nun s größer als i ist, dann gibt es nicht unendlich

viele Glieder der Folge, die größer  s sind.

Denn ansonsten gäbe es wegen der Beschränktheit einen

Häufungspunkt größer  s, somit wäre i nicht der größte.

Also gibt es nur endlich viele Folgenglieder, die größer als s sind.

unter denen gibt es also ein Maximum, das sei x_N .

Für n>N gilt also dann x_n ≤x_N

Und wegen X_N < s gilt auch für alle n>N gilt auch x_n < s.