Grenzwert mit Zwischensummenfolge

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie den Grenzwert

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)^{2}}\right) . \)
Hinweis: Interpretieren Sie die Folge als Riemannsche Zwischensummenfolge zu einem passenden Integral.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. Meine Idee wäre es, das als Summe zu schreiben, aber ich habe keine Ahnung wie. Dann müsste ich nach dem Integralkriterium einfach nur noch das uneigentliche Integral ermitteln.

Answer 1

\(\begin{aligned} \lim_{n \to\infty} n \left( \frac{1}{ n^{ 2}}+ \cdots + \frac{1}{ ( 2n - 1) ^{ 2}}\right) &= \lim_{n \to\infty}  \frac{1}{ n} \sum_{ k = 0}^{ n - 1} \frac{ n^{ 2}}{ ( n + k) ^{ 2}} \\ &= \lim_{n \to\infty} \frac{1}{ n} \sum_{ k = 0}^{ n-1} \left( \frac{1}{ 1 + k / n}\right)^{ 2} \\ &= \int_{ 1}^{ 2} \frac{1}{x^{ 2} } \:\mathrm{d}x = \left[ -\frac{ 1}{ x } \right]_{ 1} ^{ 2} = \frac{1}{2} .\end{aligned}\)