zeige eine Linksnebenklasse

Question

Aufgabe:

Seien \( (G, \circ) \) und \( (H, \circ) \) Gruppen mit \( H \subseteq G \).

Zeigen Sie, dass \( \{g \circ H: g \in G\} \) eine Partition von \( G \) ist, wobei
\(g \circ H=\{g \circ h: h \in H\}\)
eine Linksnebenklasse bezüglich \( H \) ist.

Answer 1

Da \(e\in H\) ist, gilt \(g\in gH\). Hieraus folgt \(G=\bigcup_{g\in G} gH\).

Ist nun \(g_1H\cap g_2H\neq \emptyset\), dann gibt es \(h_1,h_2\in H\) mit

\(g_1h_1=g_2h_2\), also \(g_1^{-1}g_2=h_1h_2^{-1}\). Das ergibt

\(g_1^{-1}g_2H=h_1h_2^{-1}H=H\Rightarrow g_2H=g_1H\), also

sind die Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt,

liefern daher eine Partition von \(G\).