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Aufgabe:

Zeige: Die Tangente an den Graphen von f(x)=x^2 in P(2/f(2)) ist parallel zur Sekante durch A(1/f(1)) und B(3/f(3))


Problem/Ansatz:

Ich habe für diese Aufgabe zunächst die Ableitung von f(x) gebildet welche f'(x)=2x ist und dann für P(2/f(2)) die Steigung ausgerechnet, welche in dem Fall 4 ist.

Ab hier komme ich nun aber nicht weiter, denn jetzt weiß ich zwar, dass die Steigung damit es parallel ist für die Sekante ebenfalls 4 sein muss, aber da man ja nicht die Funktionswerte der Punkte A und B hat, kann man die Steigung ja nicht durch Delta y/Delta x berechnen. Daher lautet meine Frage, wie man hier weiter rechnen muss.

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3 Antworten

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Hallo,

die Funktionswerte für A und B bestimmst du, indem du x-Koordinaten der Punkte in f(x) einsetzt.


blob.png

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Erstmal danke für die Antwort, aber woher weiß man denn ohne diese Grafik, an der man es auf dem Koordinatensystem erkennen kann, dass die beiden Punkte A und B auf dem Graphen der Funktion f liegen ?

zur Sekante durch A(1/f(1)) und B(3/f(3))

\(f(x)=x^2\\ f(1) =1\\ f(3)=9\)

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Die Tangente an den Graphen von \(f(x)=x^2\) in \(P(\red{2}|4)\) ist parallel zur Sekante durch \(A(1|1)\) und \(B(3|9)\)

Gleichung der Sekante:

\( \frac{y-1}{x-1}=\frac{9-1}{3-1}=4 \)

\(y=4x-3 \)

\(x^2=4x-3 \)

\(x^2-4x=-3 \)

\((x-\red{2})^2=-3+4=1 \)

Der Berührpunkt der Tangente an die Parabel ist somit \(P(\red{2}|4)\).

Tangentengleichung:

\(f´(x)=2x\)

\(f´(2)=4\) Das ist nun auch die Steigung der Sekante.

Avatar von 40 k
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t(x)= (x-2)*f '(2) + f(2)

Berechne die Steigung von t(x) in x = 2

Sekantengleichung;

s(x) = m*x+b

s(1) = f(1)

s(3) = f(3)

Beweise: m= f '(2)

Avatar von 39 k

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