Zeige: Die Tangente an den Graphen von f(x)=x^2 in P(2/f(2)) ist parallel zur Sekante durch A(1/f(1)) und B(3/f(3))

Question

Aufgabe:

Zeige: Die Tangente an den Graphen von f(x)=x^2 in P(2/f(2)) ist parallel zur Sekante durch A(1/f(1)) und B(3/f(3))

Problem/Ansatz:

Ich habe für diese Aufgabe zunächst die Ableitung von f(x) gebildet welche f'(x)=2x ist und dann für P(2/f(2)) die Steigung ausgerechnet, welche in dem Fall 4 ist.

Ab hier komme ich nun aber nicht weiter, denn jetzt weiß ich zwar, dass die Steigung damit es parallel ist für die Sekante ebenfalls 4 sein muss, aber da man ja nicht die Funktionswerte der Punkte A und B hat, kann man die Steigung ja nicht durch Delta y/Delta x berechnen. Daher lautet meine Frage, wie man hier weiter rechnen muss.

Answer 1

Hallo,

die Funktionswerte für A und B bestimmst du, indem du x-Koordinaten der Punkte in f(x) einsetzt.

Gruß, Silvia

Comments

Erstmal danke für die Antwort, aber woher weiß man denn ohne diese Grafik, an der man es auf dem Koordinatensystem erkennen kann, dass die beiden Punkte A und B auf dem Graphen der Funktion f liegen ?

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zur Sekante durch A(1/f(1)) und B(3/f(3))

\(f(x)=x^2\\ f(1) =1\\ f(3)=9\)

Answer 2

Die Tangente an den Graphen von \(f(x)=x^2\) in \(P(\red{2}|4)\) ist parallel zur Sekante durch \(A(1|1)\) und \(B(3|9)\)

Gleichung der Sekante:

\( \frac{y-1}{x-1}=\frac{9-1}{3-1}=4 \)

\(y=4x-3 \)

\(x^2=4x-3 \)

\(x^2-4x=-3 \)

\((x-\red{2})^2=-3+4=1 \)

Der Berührpunkt der Tangente an die Parabel ist somit \(P(\red{2}|4)\).

Tangentengleichung:

\(f´(x)=2x\)

\(f´(2)=4\) Das ist nun auch die Steigung der Sekante.

Answer 3

t(x)= (x-2)*f '(2) + f(2)

Berechne die Steigung von t(x) in x = 2

Sekantengleichung;

s(x) = m*x+b

s(1) = f(1)

s(3) = f(3)

Beweise: m= f '(2)