Nach Variablen x ,y, z auflösen

Question

Text erkannt:

\( \frac{1}{81}\left(\begin{array}{c}8 x+4 y-z \\ -x+4 y+8 z \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{array}\right)=\frac{1}{81}\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 81\end{array}\right) \)

Wie kann ich das jetzt nach den Variablen auflösen , Zeile 1 minus Zeile 2 daraus resultiert ja das x = z aber wie komme ich auf y und auf die Werte welche sie haben können

Answer 1

Ok du kennst x = z

Setze es in die erste ein und löse dann nach y auf

8·x + 4·y - x = 0 → y = - 1.75·x

Das setzen wir jetzt in die dritte Gleichung ein und lösen es nach x auf

x^2 + (- 1.75·x)^2 + x^2 = 81 → x = ± 4

y = - 1.75·(± 4) = ± (- 7)

Lösungen sind also

(4, - 7, 4) oder (-4, 7, -4)

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten:\(\quad 9x-9z=0\implies \pink{z=x}\)

Setze \(\pink{z=x}\) in die erste Gleichung ein:\(\quad7x+4y=0\implies\green{y=-\frac74x}\)

Beide Erkenntnisse setzen wir in die dritte Gleichung ein:$$x^2+\left(\green{-\frac74x}\right)^2+\pink x^2=81\implies\frac{81}{16}x^2=81\implies x^2=16\implies x=\pm4$$

Damit gibt es 2 Lösungen: \(\quad(-4|7|-4)\quad\text{und}\quad(4|-7|4)\)