Was ist \sin (1+x) ?.....

Question

Text erkannt:

Sei \( x \) eine reelle Zahl, sodass \( \cos (x)=-1 \). Was ist \( \sin (1+x) \) ?
1. \( \sin (1) \)
2. \( -\sin (1) \)
3. \( \sin (x) \)
4. \( -\sin (x) \)
5. Keine der anderen Antworten trifft zu.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Sinus-Additionstheorem

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(\cos(x)=-1\), muss \(x\) ein ungerades Vielfaches von \(\pi\) sein:$$\cos(x)=-1\implies x=\pi\cdot(2\mathbb Z-1)=2\mathbb Z\pi-\pi\quad\implies$$$$\sin(1+x)=\sin(1+2\mathbb Z\pi-\pi)=\sin(1-\pi)=-\sin(1)$$

Answer 2

Additionstheorem für den Sinus

sin(a ± b) = sin(a)·cos(b) ± cos(a)·sin(b)

Also

sin(1 + x) = sin(1)·cos(x) + cos(1)·sin(x) = sin(1)·(- 1) + cos(1)·0 = - sin(1)

Wenn cos(x) = -1 dann sin(x) = 0 und sin(1 + x) = - sin(1).

Answer 3

Der cos wird -1  bei pi + k*2pi -> x= pi+2*k*pi, k ∈ℤ

-1 entspricht 180°/ -180° am Einheitskreis.