Reglen Determinanten und Matrizen

Question

Aufgabe:

Det(C) mit C = -2A^-1B

Problem/Ansatz:

Ich soll die Determinante von Ausrechnen, aber ohne explizit A^-1 und C zu bestimmen

Comments

Sind die Determinanten von \(A\) und \(B\) bekannt ?

Wie viele Zeilen bzw. Spalten hat die quadratische Matrix \(C\) ?

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Det(A) = -56

Det(B) = -182

es waren 5x5 Matrizen

C ist nicht bekannt

Answer 1

Aloha ;)

Du kannst aus jeder der 5 Reihen jeweils den Faktor \((-2)\) vor die Determinante ziehen.

Wegen des Determinanten-Multiplikationssatzes gilt:$$1=\operatorname{det}(E)=\operatorname{det}(A\cdot A^{-1})=\operatorname{det}(A)\cdot\operatorname{det}(A^{-1})\implies\operatorname{det}(A^{-1})=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}$$

Damit gilt dann:

$$\operatorname{det}(C)=\operatorname{det}(-2A^{-1}B)=(-2)^5\cdot\frac{\operatorname{det}(B)}{\operatorname{det}(A)}$$

Answer 2

Benutze die Multiplikativität der Determinante:

\(\det(-2A^{-1}B)=\det(-2E_n)\det(A)^{-1}\det(B)=(-2)^n\det(B)/\det(A)\).

Die Matrizen seien \(n\times n\)-Matrizen, \(E_n\) die \(n\times n\)-Einheitsmatrix.