Aufgabe:
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
a) \( A=\left(\begin{array}{cccc}-3 & -11 & -11 & 45 \\ 1 & 11 & 10 & -83 \\ 1 & -6 & -5 & 81 \\ 0 & -3 & -3 & 42\end{array}\right) \in \mathbf{Q}^{4 \times 4} . \)
b) \( B=\left(\begin{array}{cccc}1+a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & 1+a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{n \times n} \) mit \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbf{Q} . \)
c) \( C=\left(c_{i j}\right) \in \mathbf{Q}^{n \times n} \), gegeben durch \( c_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}0, & i=j \\ 1, & i \neq j\end{array}\right. \) mit \( 1 \leq i, j \leq n . \)
Die Matrix \( A_{n}=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n} \) sei gegeben durch
\( a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=j \\ -1, & i=j-1 \\ j^{2}, & i=j+1 \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right. \)
für \( 1 \leq i, j \leq n . \)
Bestimmen Sie mit vollständiger Induktion die Determinante von \( A_{n} . \)
Problem/Ansatz:
Wie löse ich diese beiden Matrix aufgaben?
