Aufgabe:
Wir betrachten den Vektorraum \( \mathrm{C}[0,1] \) der \( \mathbb{C} \)-wertigen stetigen Funktionen.
(a) Beweisen Sie, dass durch
\( \|f\|_{\infty}:=\sup _{t \in[0,1]}|f(t)| \text { und }\|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t \)
zwei Normen, \( \|\cdot\|_{\infty} \) und \( \|\cdot\|_{1} \), auf \( \mathrm{C}[0,1] \) definiert sind.
(b) Sind die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) äquivalent?
Problem/Ansatz:
Aufgabenteil a habe ich honbekommen. Allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich ein Skalar einfach aus dem Supremum rausziehen darf?
Bei b hab ich große Probleme, da ich das mit der Äquivalenz nicht wirklich verstanden habe in der Vorlesung
