Lösung der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f(x ; y)=2 x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} \) beschreibe für ein öffentlich gefördertes Projekt zum Gemüseanbau den Ertrag pro Hektar (in Mengeneinheiten) in Abhängigkeit von den eingesetzten Aufwendungen \( x \) für Bewässerung und \( y \) für Dünger (beide gemessen in Geldeinheiten). Es stehen insgesamt \( C \) Geldeinheiten an Fördermitteln zur Verfügung, die unbedingt vollständig verbraucht werden sollen.

In welchem Verhältnis sind die Fördermittel aufzuteilen, um einen maximalen Ertrag zu sichern? Bestimmen Sie die Lösung der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren.
Tipp: \( x+y=C \)

Problem/Ansatz:

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung: Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Liebe Grüße

Sevi

Comments

Wenn du 7 Fragen hintereinander in 20 Minuten fragst entsteht der Eindruck du machst dir zu wenig Gedanken über eine Lösung und möchtest nur einen Schussel haben der deine Aufgaben erledigt.

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Kommentar wie zu deinen anderen Aufgaben!

lul

Answer 1

Finde das Maximum von f(x, y)

s.t.

x + y = C

Stelle zu diesem Zweck die Lagrange-Funktion auf.

Komme wieder, wenn es bei der Lösung konkrete Probleme gibt.

Comments

Hallo,
ich weiß nicht, wie man bei der Aufgabe vorgehen muss. Es wäre nett, wenn du mir erklären könntest, wie man Schritt für Schritt auf das Ergebnis kommt, damit ich eigenständig auch auf eine Rechnung kommen kann.
Vielen Dank im Voraus.
Sevi

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Ich hatte geschrieben:

Stelle zu diesem Zweck die Lagrange-Funktion auf.

Was hast Du denn für eine?

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Ich hab bis jetzt folgende Lagrange-Funktion: L(x;y;lamda)= x+y-C+ lamda (2x^1/3*y^2/3)     .

Stimmt die?

x+y-C=0 ist doch die Zielfunktion und die 2x^1/3*y^2/3 ist die Nebenbedingung oder?

Ich freue mich auf deine Rückmeldung.

Sevi

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Du hast Zielfunktion und Nebenbedingung miteinander verwechselt.

In der Aufgabe steht doch:

Die Funktion f... beschreibe ... den Ertrag ... um einen maximalen Ertrag zu sichern?

Dann ist klar, was die Zielfunktion ist. Es sollte auch klar werden, wenn Du die erste Zeile meiner ersten Antwort hier liest.

Und solange Du die Exponenten nicht richtig hinschreibst, wird das nichts.

2x^1/3 ≠ 2x¹/3 = 2/3 x

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Das heißt die Lagrange-Funktion ist:

L(x;y;lamda)= 2x1/3*y2/3+lamda (x+y-C)    .

Stimmt das jetzt?

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Du meinst sicher das richtige, auch wenn du scheinbar nicht fähig bist, Exponenten richtig als solche zu schreiben.

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Ich hatte oben geschrieben:

Und solange Du die Exponenten nicht richtig hinschreibst, wird das nichts.

Damit meinte ich:

Solange Du die Exponenten nicht richtig hinschreibst, wird das nichts.

Man schreibt lambda übrigens mit b.

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Ich habe jetzt alle vier partielle Ableitungen gebildet. Was muss ich jetzt machen?

Vielen Dank im Voraus

Sevi

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Ich habe jetzt alle vier partielle Ableitungen gebildet. Was muss ich jetzt machen?

Sehr interessant. Wie hast du das gemacht? Hast du noch nach c abgeleitet? Wenn ja dann war das auf jedenfall ein Fehler.

Normal setzt man dann alle partiellen Ableitungen gleich Null und löst das entstehende Gleichungssystem.

Wenn du weitere Hilfe benötigst solltest du dann aber mal das entstehende Gleichungssystem notieren.

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Ich habe jetzt alle vier partielle Ableitungen gebildet. Was muss ich jetzt machen?

Schreib die doch mal hin, damit man versteht wovon Du sprichst.

Answer 2

Eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram.

Die Fördermittel sollten im Verhältnis von 1:2 verbraucht werden.