Lagrangesche Multiplikatorverfahren

Question

Aufgabe:

Welches maximalen Volumen hat ein Zylinder, dessen Höhe durch die positiven Werte der Funktion y=x² +4 begrenzt wird?

Bestimmen Sie die Lösung der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren.

Problem/Ansatz:

Welche Nebenbedingung muss ich nehmen?

Comments

Welche Nebenbedingung muss ich nehmen?

Die hast Du schon hingeschrieben: \(y=x^{2} +4 \) Nur - was ist \(x\) und was ist \(y\) bei dem Zylinder?

... kann es sein, dass es \(y=\colorbox{#ffff00}{-}x^2 + 4\) heißen muss?

Answer 1

Heißt wohl y= - x^2 +4

Und dannist x der Radius und y die Höhe , also

Zylindervolumen  V(x,y) = x^2 * pi * y mit der Nebenbedingung  y= - x^2 +4

L (x,y,λ) =   x^2 * pi * y  + λ*( y + x^2 - 4)

L'_x (x,y,λ) =   2x * pi * y  + 2xλ  = 2x*( y*pi+λ )

L'_y (x,y,λ) =   x^2 * pi   + λ

L'_λ (x,y,λ) =   y + x^2 - 4

2x*( y*pi+λ ) ==>   x = 0 oder  y*pi+λ = 0

Damit es überhaupt einen Zylinder gibt muss aber wohl x>0 sein,

also     y = - λ / pi         #    in die 3. einsetzt

              - λ / pi   + x^2 - 4  = 0

              <=>    x^2  =   4  +   λ / pi

Gibt mit der 2.      ( 4  +   λ / pi  ) * pi   + λ = 0

                                 <=>   4pi + 2λ = 0

                                <=>  λ = -2pi

Also mit #   y = 2  und also wegen x>0 und   y= - x^2 +4 ==>  x = √2