Aloha :)
Du sollst die Fläche \(F(x;y)\) unter der Nebenbedingung \(y=2-x^2\) optimieren.
Sowohl die Fläche als auch die Nebenbedingung hast du korrekt bestimmt:$$F(x;y)=2xy\quad;\quad g(x;y)=y+x^2=2=\text{const}\quad;\quad x\ge0$$
Nun hast du die Lagrange-Funktion gebildet und dir das Leben damit unnötig schwer gemacht. Lagrange fordert nur, dass der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen ist. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2y}{2x}=\lambda\binom{2x}{1}$$
Nun dividieren wir die Gleichung der 1-ten Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordinate:$$\frac{2y}{2x}=\frac{\cancel\lambda\cdot2x}{\cancel\lambda\cdot1}=2x\implies 2y=4x^2\implies \pink{y=2x^2}$$
Diese Lagrange-Bedingung setzen wir nun in die konstante Nebenbedingung ein:$$2=\pink y+x^2=\pink{2x^2}+x^2=3x^2\implies x\stackrel{(x\ge0)}{=}\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{\sqrt9}=\frac{\sqrt6}{3}$$Wegen der Lagrange-Bedingung gilt noch \(\pink{y=2x^2}=2\cdot\frac{6}{9}=\frac{12}{9}=\frac43\).
Damit haben wir das Optimum gefunden: \(x=\frac{\sqrt6}{3}\;;\;y=\frac43\;;\;F_{\text{max}}=\frac{8\sqrt6}{9}\)
