Maximum bestimmen, Funktion mit 2 Variablen und Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Maximum der Funktion f(x,y) = 2x² + 5y² + 15xy unter der Nebenbedingung x + y = 0 
Die hinreichende Bedingung muss nicht geprüft werden.

Problem/Ansatz:

L(x,y) = 2x² + 5y² + 15xy - λ (x+y)

L'1(x,y) = 4x + 15y - λ = 0        L'2(x,y) = 10y + 15x - λ = 0        x + y = 0

in unseren bisherigen Aufgaben ist an dieser Stelle immer eine Variable schnell bestimmt gewesen. Ich komme bei der Aufgabe immer auf x = y = λ = 0 und damit auf ein Maximum von 0

Answer 1

Deine Lösung ist richtig.

Comments

Alles klar, vielen Dank.

Answer 2

Aloha :)

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion \(f\) eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen \(g_i\) sein.$$f(x,y)=2x^2+5y^2+15xy\quad;\quad g(x,y)=x+y=0$$Da wir hier nur eine Nebenbedingung \(g\) haben, muss also gelten:

$$\operatorname{grad}f(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x,y)\implies\binom{4x+15y}{10y+15x}=\lambda\binom{1}{1}\implies$$$$4x+15y=10y+15x\implies5y=11x$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein und finden:$$0=x+y=x+\frac{11}{5}x=\frac{16}{5}x\implies x=0$$$$0=x+y=\frac{5}{11}y+y=\frac{16}{11}y\implies y=0$$

Daraus folgt insbesondere \(\lambda=0\). Wir haben also ein Extremum unter der Nebenbedingung bei \((x,y)=(0,0)\).

Das macht auch Sinn, denn wir können die Nebenbedingung umformen zu \(y=-x\) und das in die Funktionslgeichung einsetzen:$$f(x,-x)=2x^2+5(-x)^2+15x(-x)=2x^2+5x^2-15x^2=-8x^2$$Jetzt sieht man das Maximum bei \((x,y)=(0,0)\) besser ;)

Comments

Danke auch dir.

Answer 3

Bestimmen Sie das Maximum der Funktion \(f(x,y) = 2x^2 + 5y^2 + 15xy\) unter der Nebenbedingung \(x + y = 0\).
Die hinreichende Bedingung muss nicht geprüft werden.

\(x + y = 0\)   → \(y=-x)\)

\(f(x) = 2x^2 + 5\cdot (-x)^2 + 15x(-x)\)

\(f(x) =-8x^2\)

\(f'(x) =-16x\)

\(-16x=0\)

\(x=0\)       \(y=0\)