Maximum mit Nebenbedingung Lagrange-Methode

Question

Gesucht ist das Maximum der Funktion f(x,y) = y² - x

unter der Nebenbedingung x² + y² = 0,25.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode alle stationären Punkte.

Was muss ich hier machen????

LG

Answer 1

Hi,

bestimme f_x und f_y

f_x = -1

f_y = 2y

 

Zudem bestimme g_x und g_y aus g = x^2+y^2-0,25,

g_x = 2x

g_y = 2y

 

Nun drei Gleichungen der Form

f_x - λg_x = 0

f_y - λg_y = 0

g = 0

aufstellen:

 

-1-2xλ= 0

2y-2yλ = 0

x^2+y^2-0,25 = 0

 

Lösen dieses Gleichungssystems:

x = -1/2, y = 0, λ = 1

x = 1/2, y = 0, λ = -1

 

Damit sind die stationären Punkte:

P(-1/2|0)  (-> Maximum, da f(P) > f(Q), was wegen Kompaktheit von g verwendet werden darf)

Q(1/2|0)  (-> Minimum)

 

Grüße

Answer 2

Wenn Lagrange nicht vorgegeben ist:

Gesucht ist das Maximum der Funktion \(f(x,y) = y^2 - x\)

Nebenbedingung \(x^2 + y^2= 0,25\)→     \( y^2= 0,25-x^2\)

\(f(x) =0,25-x^2 - x\)

\(f'(x) =-2x - 1\)

\( -2x - 1=0\)        \( x=-\frac{1}{2}\)       \( y^2= 0,25-0,25=0\)     \( y=0\)