Bestimmen Sie das Maximum mithilfe der Lagrangschen Multiplikatoren

Question

Hallo ! Kann jemand bei dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Die Monotonie der Wurzelfunktion bewirkt, dass √(k(k-a)(k-b)(k-c)) genau dort maximal ist, wo k(k-a)(k-b)(k-c) maximal ist.

Answer 2

wegen der Monotonie der √-Funktion ist dies auch zugleich das max der Funktion g

mit g(a,b,c) = k(k-a)(k-b)(k-c)

u.d.Nebenbed. a+b+c = 2k und  a,b,c > 0

Also Lagrangefunktion

L(a,b,c,λ) =    k(k-a)(k-b)(k-c)      +  λ*(a+b + c - 2k)

partielle Ableitungen:L '_a(... )  =      - k(k-b)(k-c)  

L '_b(... )  =      - k(k-a)(k-c)  

L '_c(... )  =      - k(k-b)(k-a)  

L '_λ(... )  =      a+b + c - 2kalles = 0 setzen gibt :

  - k(k-b)(k-c)      = 0    und     - k(k-a)(k-c) = 0  
  und   - k(k-b)(k-a) = 0  und   a+b + c - 2k = 0

aus der 1. Gleichung:

-k³ +bk² +ck²  -bck = 0  und wegen k>0

-k² +bk +ck  -bc = 0 und entsprechend   -k² +ak +ck  -ac = 0 und -k² +bk +ak  -ba = 0 

Da kann man das k dann eliminieren und bekommt sowas wiec/b = (c+a)/(b+a)  und  entsprechend für a/b und  c/a  und sieht:

Das geht nur für a=b=c und mit der Nebenbedingung gibt das 

a=b=c = 2k/3 .Die Dreiecksfläche ist also bei vorgegebenem Umfang ( das ist das 2k)

am größten, wenn das Dreieck gleichseitig ist,