Hauptbedingung Abstand zum Ursprung:$$ A(x,y,z)= \sqrt{x^2+y^2+z^2 }$$
Nebenbedingung I: Ebene$$ 0= 2y+4z-6$$
Nebenbedingung II: Kegel$$0=2x^2+y^2-z^2 $$
Eine erhebliche Erleichterung kann man durch Quadrieren der Hauptbedingung erreichen, da die Diskriminante stets positiv sein wird und die Funktion des Quadrierens im positiven Bereich streng monoton steigend ist. Da wir nur die Extrema suchen, werden diese sich dabei nicht verändern.
$$ A^2(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$$
$$\Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)= x^2+y^2+z^2 + \lambda ( 2y+4z-6 )+ \mu ( 2x^2+y^2-z^2 ) $$
partielle Ableitungen:
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, x}= 2 x+ 4\mu x $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, y}= 2y+2\lambda +4 \mu y $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, z}= 2z + 4 \lambda -2 \mu z $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, \lambda}= 2y+4z-6 $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, \mu}= 2x^2+y^2-z^2 $$