Lagrange Multiplikatoren - Unbekannte berechnen

Question

ich habe am Ende bei den Lagrange Multiplikatoren raus :
\( \begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=2 x-2 \lambda x=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=-z-2 \lambda y=0 \\ \frac{\partial L}{\partial z}=-y-2 \lambda z=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\end{array} \)



Nun würde ich die erste Gleichung so umformen, so dass ich eine Fallunterscheidung erhalte:

x=0 und Lambda=-1

Theoretisch müsste ich x=0 und Lambda=-1 in die anderen Formeln einsetzen, um so die Extrema zu berechnen. Leider komme ich dort nicht weiter.

Kann da jemand helfen ?

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Edit.: Ich habe wohl ein Fehler bei den Vorzeichen.

Die Aufgabe soll lauten :

\( \begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=2 x+\lambda \cdot 2 x=0, \\ \frac{\partial L}{\partial y}=-z+\lambda \cdot 2 y=0, \\ \frac{\partial L}{\partial z}=-y+\lambda \cdot 2 z=0, \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 .\end{array} \)

Answer 1

X=0 oder Lambda=1 wäre richtig.

Der 2. Fall gibt y=0 und z=0 und x= +-1.

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Wie kommst du denn auf diese Werte ?

\( 2 x-2 \lambda x=0 \) → 2x (lambda +1)

Demnach wäre das x=0 und lambda=-1

Ich kenne das Lagrange Verfahren so, dass ich jetzt eine Fallunterscheidung mit den o.g Werten durchführe und dadurch Punkte für Extrema erhalte.

Edit.: Ich habe wohl die Vorzeichen falsch.

Die Aufgabe sollte lauten :

\( \begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=2 x+\lambda \cdot 2 x=0, \\ \frac{\partial L}{\partial y}=-z+\lambda \cdot 2 y=0, \\ \frac{\partial L}{\partial z}=-y+\lambda \cdot 2 z=0, \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0 .\end{array} \)

Wie würde ich denn bei X=0 und Lambda=-1, y=0 und z=0 vorgehen ?

Bei X=0 und Lambda=-1 bekomme ich die Gleichungen nicht gelöst.

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Ich hatte nur das 'und' ändern wollen.

Richtig ist also x=0 oder lambda=-1.

1.Fall lambda=-1. Dann hast du (2. und 3. Gl.)

-z-2y=0 und -2z-y=0, also x=y=0. Mit der

letzten Gl. Also x=+-1.

2.Fall x=0 . Angenommen y≠0, dann 2.Gl.

Nach lambda auflösen und bei 3 einsetzen gibt

y hoch 2=z hoch 2 . Zusammen mit x=0 in die 3.

einsetzen.