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Hallo  liebe Leute,

Ich habe ein großes Problem: Ich schreibe nächste Woche eine Klausur wo u.a. das Lagrange-Verfahren abgefragt wird. Ich weiß nicht richtig mit den Nebenbedingungen umzugehen...

Wie läuft das bei folgenden Aufgaben: ) z(x,y) = - 4x² + y²                            NB: x = - 6 + y  

                                 oder auch:  z(x,y) = (x - 2)² + (y - 2)²                   NB: x + y = 2

Die Ergebnisse sind laut Skript für die erste Aufgabe : (2/8/48) und für die zweite (1/1/2)

Ihr würdet mir mit dem Lösungsweg und vielleicht noch einigen zusätzlichen Erklärungen wahnsinnig weiter helfen und ich wäre ich wirklich sehr sehr dankbar:)

Mit ganz lieben Grüßen

Kira

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 z(x,y) = - 4x² + y²                            NB: x = - 6 + y  

Erst mal die Nebenbed. so umformen, dass da =0 steht:

                                                         x-y+6=0

Dann Lagrangefunktion bilden (Ich schreib mal L statt Lambda)

F(x,y,L) =  -4x^2 + y^2 + L*( x-y+6)    z-Funktion + L*Nebenbed.)

Dann alle drei partiellen Ableitungen bilden

F 'x (x,y,L) = -8x + L

F 'y (x,y,L) = 2y - L

F 'L (x,y,L) =      x-y+6  

Jetzt alle drei gleich Null setzen und aus den ersten beiden Gleichungen L rausschmeißen:

 -8x + L  =0    und  2y - L =0  und    x-y+6   =0

gibt L = 8x und das in die 2. einsetzen gibt:

                          2y - 8x = 0 also   y = 4x

Das in die 3. einsetzen   x - 4x + 6 = 0 gibt x=2

wieder in die 3. einsetzen gibt  2 - y + 6 = 0 also y=8

beides in die ursprüngliche Zielfunktion einsetzen

z( 2,8) =  - 4*2² + 8²  = -16 + 64 = 48

Also ist (2,4,48) der einzige kritische Punkt.

Jetzt noch entscheiden, ob Max oder Min z. B mit der

Determinante der geränderten Hessematrix:                         

0          1             -1

1        -8               0

-1        0             2   

Hat Det = 6 > 0  also ist bei dem krit. Punkt ein lok. Minimum. 

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