z(x,y) = - 4x² + y² NB: x = - 6 + y
Erst mal die Nebenbed. so umformen, dass da =0 steht:
x-y+6=0
Dann Lagrangefunktion bilden (Ich schreib mal L statt Lambda)
F(x,y,L) = -4x^2 + y^2 + L*( x-y+6) z-Funktion + L*Nebenbed.)
Dann alle drei partiellen Ableitungen bilden
F 'x (x,y,L) = -8x + L
F 'y (x,y,L) = 2y - L
F 'L (x,y,L) = x-y+6
Jetzt alle drei gleich Null setzen und aus den ersten beiden Gleichungen L rausschmeißen:
-8x + L =0 und 2y - L =0 und x-y+6 =0
gibt L = 8x und das in die 2. einsetzen gibt:
2y - 8x = 0 also y = 4x
Das in die 3. einsetzen x - 4x + 6 = 0 gibt x=2
wieder in die 3. einsetzen gibt 2 - y + 6 = 0 also y=8
beides in die ursprüngliche Zielfunktion einsetzen
z( 2,8) = - 4*2² + 8² = -16 + 64 = 48
Also ist (2,4,48) der einzige kritische Punkt.
Jetzt noch entscheiden, ob Max oder Min z. B mit der
Determinante der geränderten Hessematrix:
0 1 -1
1 -8 0
-1 0 2
Hat Det = 6 > 0 also ist bei dem krit. Punkt ein lok. Minimum.
