Summen berechnen: 2^k / 6^{k+1} umformen zu 1/6 · (1/3)^k

Question

\( = \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2^k}{6^{k+1}}+\frac{2 \cdot 3^k}{6^{k+1}}+\frac{1}{6^{k+1}}\right) \)

\( =\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}\right) \)

Wie wurde dieser Schritt möglich? Weshalb kann man das so umformen?

Comments

\(6^{k+1} = 6 \cdot 6^k\)?

Answer 1

2^k / 6^{k+1}

= 2^k / ( 6^1 * 6^k)

= 1/6 * 2^k / 6^k

=1/6 * (2/6)^k

=1/6 * (1/3)^k

= 1/6 * 1/3^k

Nun klarer? Vgl. Potenzgesetze. Formeln sind z.B. hier https://www.matheretter.de/wiki/potenzen zusammengestellt.

Answer 2

2^k / 6^{k + 1}

= 2^k / (6·6^k)

= 1/6 · 2^k / 6^k

= 1/6 · (2/6)^k

= 1/6 · (1/3)^k