Wie in Potenzreihe umformen

Question

wie kann ich Funktionen wie f(x)=  x•e^3x in eine Potenzreihe ∑a^k (x-x_o)^k (taylorreihe) bei entwicklungspunkt x₀ =1 oder x₀ =0 umformen?

Bei gebrochenrationalen funktionen wie ( 1(/x-3) würde ich wissen wie ich das machen. Da forme ich den Teil einfach in die from der geometrischen Reihe um  1/(1-q) . allerdings weiß ich nicht wie ich das machen soll bei funktionen wie oben angeben, die keine brüche enthalten oder bei trigonmetrischen-funktionen wüsste ich auch nicht wie.

ich wäre echt dankbar wenn mir jemand helfen würde oder sozusagen ein rezept für mich hätte :) besten gruß paul!

Comments

Leite f ein paar mal ab und schau, ob du ein System erkennst. Wenn du eins erkennst, kannst duso eine Art Formel für die n-te Ableitung aufstellen.

Answer 1

Das Taylorpolynom zu e^x solltest du aufschreiben können

T(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ... + 1/n!·x^n

Jetzt das Taylorpolynom zu e^{3x}. Was fällt dir auf?

T(x) = 1 + 3·x + 9/2·x^2 + 27/6·x^3 + 81/24·x^4 + ... + 3^n/n!·x^n

Jetzt das Taylorpolynom zu xe^{3x}. Was fällt dir auf?

T(x) = x + 3·x^2 + 9/2·x^3 + 27/6·x^4 + 81/24·x^5 + ... + 3^n/n!·x^{n + 1}