Potenzreihe mit (z-1)^n so umformen, dass z^n gilt

Question

ich habe eine Frage und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde:)

Aufgabe:

Ich möchte "gerne" die Potenzreihe so umformen, dass (*zⁿ ) so in der Aufgabe enthalten ist.

∞
∑    1/n (z-1)ⁿ
n=1

In anderen Worten: Es soll so aussehen:

∞
∑    a_n *zⁿ
n=1

Ich brauche diese Umformung um den Konvergenzradius/Konvergenzbereich umformen zu können.

Ich hoffe, dass das einigermaßen verständlich formuliert ist.

Answer 1

Der Konvergenzradius ist \(r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n}\right|}}\) oder \(r = \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1/n}{1/(n+1)}\right|\).

Dazu brauchst du die Potenzreihe nicht umformen.

Die Potenzreihe konvergiert dann für \(z \in (1-r,1+r)\).

Answer 2

Hallo

man schreibt einfach z-1=x, bestimmt den Konvergenzradius  r von x und hat dann |z-1|<r

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

Du brauchst diese Umformung nicht wirklich. Du kannst den Konvergenzradius \(r\) allein anhand der Koeffizieten \(a_n=\frac{1}{n}\) bestimmen:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=1$$und dann einfach$$|z-1|<r\implies|z-1|<1$$nach \(z\) umstellen.