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Wie kann ich von dieser Reihe

n=1nnn!zn \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !} z^{n}

den Konvergenzradius bestimmen?

Wie das an sich funktioniert ist mir klar, nur komme ich an der Stelle

ak+1ak=n+1n+1n+1!n!nn=n+1n+1(n+1)(nn) \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{n+1^{n+1}}{n+1 !} * \frac{n !}{n^{n}}=\frac{n+1^{n+1}}{(n+1)^{*}\left(n^{n}\right)}

nicht mehr weiter.

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dein nächster schritt wäre (n+1) kürzen     im zähler hast du (n+1)^{n+1} und das ist = (n+1)(n+1)^{n}

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Erstmal drei Anmerkungen: Bitte setze Klammern: (n+1)n+1n+1n+1=n+1(n+1)^{n+1} \neq n+1^{n+1}=n+1, ak=kk!a_k=\frac{k}{k!} da kommt kein n vor und ich muss dir eine Illusion rauben: dir ist wohl nicht klar wie man den Konvergenzradius bestimmt. Gilt an=0a_n=0 nur für endlich viele n, so ist der Konvergenzradius limnanan+1\lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|, den Limes also nicht vergessen. Und das hilft auch hier weiter: limnnn(n+1)(n+1)n+1=limnnn(n+1)n=limn(11+1n)n=1e lim_{n \to \infty} {n^n (n+1)}{(n+1)^{n+1}}=lim_{n \to \infty} {n^n }{(n+1)^{n}}=lim_{n \to \infty} ( {1 } {1+\frac{1}{n} } )^{n}=\frac{1}{e}

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