Konvergenzradius der Potenzreihe Summe von n=1 bis unendlich (n^n/n!)*z^n

Question

Wie kann ich von dieser Reihe

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !} z^{n} \)

den Konvergenzradius bestimmen?

Wie das an sich funktioniert ist mir klar, nur komme ich an der Stelle

\( \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{n+1^{n+1}}{n+1 !} * \frac{n !}{n^{n}}=\frac{n+1^{n+1}}{(n+1)^{*}\left(n^{n}\right)} \)

nicht mehr weiter.

Comments

dein nächster schritt wäre (n+1) kürzen     im zähler hast du (n+1)^{n+1} und das ist = (n+1)(n+1)^{n}

Answer 1

Erstmal drei Anmerkungen: Bitte setze Klammern: $$(n+1)^{n+1} \neq n+1^{n+1}=n+1$$, $$a_k=\frac{k}{k!}$$ da kommt kein n vor und ich muss dir eine Illusion rauben: dir ist wohl nicht klar wie man den Konvergenzradius bestimmt. Gilt $$a_n=0$$ nur für endlich viele n, so ist der Konvergenzradius $$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$$, den Limes also nicht vergessen. Und das hilft auch hier weiter: $$ lim_{n \to \infty} {n^n (n+1)}{(n+1)^{n+1}}=lim_{n \to \infty} {n^n }{(n+1)^{n}}=lim_{n \to \infty} ( {1 } {1+\frac{1}{n} } )^{n}=\frac{1}{e}$$