Konvergenzradius Randuntersuchung ∑((z-1)^n /√(n^2+1)) Summe n von 3 bis unendlich

Question

Ich habe folgende Potenzreihe:

\( \sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{(z-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}} \)

Den Konvergenzradius habe ich bereits berechnet.

r=1 mit Ursprung bei 1.  Also liegt der Rand eR auf 0 und 1.

Diesen Rand soll ich untersuchen.

Also setze ich einmal z=0 und einmal z=2 ein.

Habe also beide male 1ⁿ/sqrt(n²+1). bei z=2 ist voran noch ein (-1)ⁿ. also alternierend.

Doch die Folge 1ⁿ/sqrt(n²+1) wird für n-> ja beide male 0.

Also bekomme ich für beide Stellen Konvergenz heraus.

Meine Kollegen bekommen jedoch für z=2 Divergenz. Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Doch die Folge 1ⁿ/sqrt(n²+1) wird für n-> ja beide male 0.  Genügt nicht. 

Nur bei Reihen von alternierenden Nullfolgen gibt es diesen Konvergenzsatz. Also bei z=0.

1ⁿ/sqrt(n²+1)  = 1/sqrt(n²+1) verhält sich ungefähr so, wie 1/n. Die zugehörige sog. harmonische Reihe konvergiert nicht.

Du kannst zB. folgendermassen eine divergente Minorante konstruieren. Sei n grösser als 0.

(n+1)^2     >    n^2+1

<===>                  |Kehrwert

1/(n+1)^2 < 1/(n^2+1)

<====>          |Wurzel

1/(n+1) < 1/(n^2 + 1)

Die harmonische Reihe ab dem 2. Summanden ist eine divergente Minorante der zu untersuchenden Reihe, die deshalb divergiert.

Comments

Und somit ist die Potenzreihe auf beiden Punkten divergent.

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Achtung: Nein! Bei der alternierenden Nullfolge ist die Konvergenz ja schon beweisen. Die harmonische Reihe ist dort keine Minorante.

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Hatte das mit z=0 Falsch gelesen.

"Nur bei Reihen von alternierenden Nullfolgen gibt es diesen Konvergenzsatz. Also bei z=0."

Ich dachte ich darf das nur anwenden wenn der Ursprungspunkt z=0 ist. Aber ging ja um den Randpunkt z=0

Mein Fehler ;)