Konvergenzradius bestimmen bei ∑(n=0 bis ∞) (n^7/2^n) * z^n

Question

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:

∑(n=0 bis ∞)  (n^7/2^n) * z^n

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Dazu fndet man bei wikipedia unter dem Stichwort "Konvergenzradius":

Wenn ab einem bestimmten Index alle a_n von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius durch:

$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  \right|  }$$berechnet werden.$$$$ Diese Bedingunen sind vorliegend bereits ab n=1 erfüllt, sodass also für den Konvergenzradius r gilt:$$ r=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { { { n }^{ 7 } } }{ { 2 }^{ n } }  }{ \frac { { (n+1) }^{ 7 } }{ { 2 }^{ n+1 } }  }  \right|  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { { n }^{ 7 } } }{ { 2 }^{ n } } \frac { { 2 }^{ n+1 } }{ { (n+1) }^{ 7 } }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { { 2n }^{ 7 } } }{ { (n+1) }^{ 7 } }  }$$$$=2\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { { n }^{ 7 } } }{ { (n+1) }^{ 7 } }  }$$$$=2$$

Comments

könntest du auch bei den folgenden Aufgaben helfen? :/

Wäre wirklich sehr nett, da ich trotz Beispiels keinen Ansatz finde außer bei der b. Wobei ich da auch nicht zur Lösung komme.

∑(n=0 bis ∞) nⁿzⁿ

∑(n=0 bis ∞) 1/(n²3ⁿ)*z²ⁿ

∑(n=0 bis ∞) 4^n!z^n!

^{Vielen Dank schonmal :)}