Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe bestimmen: Summe von n=0 bis unendlich (1+n2*2n)xn

Question

hallo !

ich hab ein problem ich komm bei dieser angabe einfach nicht auf den konvergenzradius welcher laut studienkollege 1 sein soll ..?

kann mir das bitte jemand erklären wäre sehr dankbar !

Summe von n=0 bis unendlich (1+n^2*2^n)x^n

LG

Answer 1

Aus Wikipedia (Stichwort: Konvergenzradius):

Wenn (Anm. JotEs: in der Reihe $\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ x }^{ n } }$ ) ab einem bestimmten Index n alle a_n von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius (...) durch

$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } \right| }$$

berechnet werden.

In der vorliegenden Reihe

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } }){ x }^{ n } }$$

sind alle a_n bereits ab n = 0 von Null verschieden, also:

$$r=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left| \frac { 1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } \right| }$$

Da dieser Bruch für alle n positiv ist, können die Betragsstriche weggelassen werden:

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1+{ n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$

Zerlegen des Bruches in zwei Summanden:

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1 } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } } +\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$

$$=0+\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n+1) }^{ 2 }*{ 2 }^{ n+1 } } }$$

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }*{ 2 }^{ n } } }{ 1+{ (n }^{ 2 }+2n+1)*{ 2 }^{ n+1 } } }$$

Kürzen mit 2ⁿ:

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { { n }^{ 2 } } } }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } { +{ (n }^{ 2 }+2n+1) }*{ 2 } } }$$

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { { n }^{ 2 } } } }{ 0{ +{ 2n }^{ 2 }+4n+2 } } }$$

Kürzen mit n² :

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { 1 } } }{ { { 2 }+\frac { 4 }{ n } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } } } }$$

$$=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { 1 } } }{ { { 2 }+0+0 } } }$$

$$= \frac { 1 }{ 2 }$$

Damit hat das Konvergenzintervall eine Breite von 1

Comments

Hallo JotEs vielen dank für deine Lösung besonders danke für die Erklärung !! hab jetzt nochmal ein Beispiel selbst gerechnet und verstanden :-) lg


formal schreibt man dann -r < 1/2 < r oder?

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formal schreibt man dann -r < 1/2 < r oder?

Nein, der Konvergenzradius r ist eine feste Zahl, vorliegend r = 1 / 2

(Anmerkung: Setze mal r = 1 / 2 in deine Schreibweise ein. Du erhältst: - 1 / 2 < 1 / 2  < 1 / 2
Die erste Ungleichung ist immer wahr, um sie zu erhalten hätte man nicht zu rechnen brauchen. Da sie immer wahr ist, ist ihre Aussage nichtssagend. Die zweite Ungleichung hingegen ist immer falsch, denn 1/2 ist niemals kleiner als 1 / 2 sondern immer gleich 1 / 2. Eine solche Darstellung kann also nicht die Antwort auf die Frage nach Konvergenzradius bzw. -intervall sein.)

Vermutlich wolltest du das Konvergenzintervall um den Entwicklungspunkt x₀ der Reihe darstellen. Das Konvergenzintervall um den Entwicklungspunkt x₀ und dem konvergenzradius r ist:

( x₀ - r , x₀ + r )

Vorliegend ist x₀ = 0 und r = 1 / 2 , also ist das Konvergenzintervall:

(- 1 / 2 , 1 / 2 )

wobei die Reihe in den Randpunkten dieses Intervalls noch auf Konvergenz untersucht werden müsste.