Aufgabe:
Sei \(f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) Potenzreihe mit Konvergenzradius \(R>0, n\in\mathbf{N}\). Berechne den Grenzwert von:
$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$
Problem/Ansatz:
$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$
$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$
$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sum \limits_{k=n+1}^{\infty}a_kx^k}{x^{n+1}}$$
$$=\lim\limits_{x\to0}\sum \limits_{k=n+1}^{\infty}a_kx^{k-n-1}$$
Da \(x^{k-n-1}\not\to0\) nur für \(k=n+1\) (also nur ein Mal)
$$\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}=a_{n+1}$$
Ist das so richtig oder habe ich einen Denkfehler/Umformungsfehler?
