Limes von Differenz Potenzreihe bis unendlich und Potenzreihe bis n

Question

Aufgabe:

Sei $f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0, n\in\mathbf{N}$. Berechne den Grenzwert von:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$

Problem/Ansatz:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$

$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}$$

$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sum \limits_{k=n+1}^{\infty}a_kx^k}{x^{n+1}}$$

$$=\lim\limits_{x\to0}\sum \limits_{k=n+1}^{\infty}a_kx^{k-n-1}$$

Da $x^{k-n-1}\not\to0$ nur für $k=n+1$ (also nur ein Mal)

$$\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-\sum \limits_{k=0}^{n}a_kx^k}{x^{n+1}}=a_{n+1}$$

Ist das so richtig oder habe ich einen Denkfehler/Umformungsfehler?

Answer 1

Ich finde es ganz gut. Nix über |x| < R oder so gesagt ?

Comments

Nein, zu x steht nichts da