Reihenwert von ∑x^k (von k=0 bis unendlich)

Question

\(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\)

Warum ist der Reihenwert \(\dfrac{1}{1-x}\)? Und wie berechnet man das?

Also ich weiß, dass x₀ =0 und a_k =1 ist. Dann r = 1 und |x-x₀| < 1 sein muss. Geom. Reihe ist \(\dfrac{1}{1-x}\), aber wir wissen nicht, ob der Betrag von x<1 ist ... Warum denn?

Danke

Comments

aber wir wissen nicht ob die detrag von x<1 ist

Wir wissen das auch nicht.

Es wäre sinnvoll, die komplette Aufgabenstellung zu sehen, vielleicht steckt darin ja ein diesbezüglicher Hinweis. Was wir hier sehen, ist nur ein von Tippfehlern wimmelnder Teilauszug der Aufgabe.

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x=1 geht nicht, Nenner!

x>1 geht nicht, weil die Reihe dann ∞ groß wird.

x=-1 geht nicht.

x<-1 geht nicht.

S wie unten!

Answer 1

S=∑x^k,   IxI<1, S ist gesucht.

x∑x^k + 1 ergibt dieselbe Reihe!        (alles mal x:     x+x²+x³...,     dann +1 vornedran!)

xS+1=S

S-xS = 1

S(1-x) = 1

S=1/(1-x)

Answer 2

Betrachte doch erstmal den endlichen Fall, welches man zunächst so umschreiben kann, also \(\sum\limits_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{1-x}\), falls 0<|x|<1.

Denn es gilt doch für \(|q|<1\) die Eigenschaft \(\lim\limits_{n \to \infty} q^n=0\).