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Aufgabe:

Extremwertbestimmung


Problem/Ansatz:

Hey :)

Irgnedwie komme ich mit der Aufgabe nicht klar, kann mir jemand helfen ?

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Text erkannt:

Aufgabe 4: Extremwertbestimmung Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=y^{3}-x^{3}+2 x y-6 \)
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und die Sattelpunkte von \( f . \) Entscheiden Sie jeweils, ob die Extrema global und ob sie strikt sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

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Wo liegt das Problem. Bilde die partiellen Ableitung und setze sie gleich Null. Löse das entstehende Gleichungssystem. Ich erhalte die Lösungen (x = - 2/3 ∧ y = 2/3) ∨ (x = 0 ∧ y = 0)

Das eine ist ein Minimum und das andere ein Sattelpunkt. Du kannst die Art z.B. über die Hessematrix bestimmen.

Avatar von 487 k 🚀

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Ich habe Probleme beim bilden der partiellen Ableitung… ist das hier richtig ?

Ja. Das ist richtig. Das ist bisher aber nur eine partielle Ableitung.

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Hallo

alle kritischen Punkte durch grad(f)=0 dann Hessematrix um zu entscheiden, oder Umgebung der kritischen Punkte untersuchen,

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=y^3-x^3+2xy-6$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{-3x^2+2y}{3y^2+2x}$$

Aus der 1-ten Komponente nehmen wir \(2y=3x^2\) und ersetzen damit in der 2-ten Komponente das \(y\) durch \(\frac32x^2\), um \(x\) zu bestimmen:$$0=3y^2+2x=3\cdot\frac{9x^4}{4}+2x=\frac{27}{4}x^4+2x=\frac{27}{4}x\left(x^3+\frac{8}{27}\right)$$

Wir erkennen zwei Nullstellen \(x_1=0\;,\;x_2=-\frac{2}{3}\), berechnen mit \(y=\frac32x^2\) die zugehörigen \(y\)-Werte \(y_1=0\;,\;y_2=\frac23\) und haben zwei Extremwert-Kandidaten gefunden:$$(x_1|y_1)=(0|0)\quad;\quad(x_2|y_2)=\left(-\frac23\bigg|\frac23\right)$$

Zur weiteren Untersuchung überweisen wir die Patienten zu Professor Hesse:

$$H(x;y)=\begin{pmatrix}-6x & 2\\2 & 6y\end{pmatrix}\quad\implies\quad H_1(0;0)=\begin{pmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{pmatrix}\;;\;H_2\left(-\frac23\bigg|\frac23\right)=\begin{pmatrix}4 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$$Die Eigenwerte von \(H_1\) finden wir schnell, denn \(\lambda_1+\lambda_2=0\) und \(\lambda_1\cdot\lambda_2=-4\), sodass \(\lambda_1=2\) und \(\lambda_2=-2\). Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen haben, ist \(H_1\) indefinit und damit ist Kandidat 1 ein Sattelpunkt.

Die Eigenwerte von \(H_2\) finden wir ebenso schnell, denn \(\lambda_1+\lambda_2=8\) und \(\lambda_1\cdot\lambda_2=12\), sodass \(\lambda_1=6\) und \(\lambda_2=2\). Da alle Eigenwerte positiv sind, ist \(H_2\) positiv definit und der zweite Kandidat ist ein Minimum.

Wir fassen zusammen:$$\text{Sattelpunkt bei }(0|0)\quad;\quad\text{Minimum bei }\left(-\frac23\bigg|\frac23\right)$$

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