Aloha :)
Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y;z)=x^2+xy+y^4-yz+z^2$$finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\vec 0=\operatorname{grad}{f(x;y;z)}=\left(\begin{array}{c}2x+y\\x+4y^3-z\\-y+2z\end{array}\right)$$Die 3-te Koordinate liefert uns \(z=\frac12y\). Die 1-te Gleichung liefert \(x=-\frac12y\). Damit können wir die 2-te Gleichung allein mit \(y\) ausdrücken:$$0=x+4y^3-z=-\frac y2+4y^3-\frac y2=4y^3-y=4y\left(y^2-\frac14\right)=4y\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)$$Gemäß des Satzes vom Nullprodukt haben wir also \(3\) Lösungen und damit folgende \(3\) Kandidaten für Extremwerte gefunden:$$K_1\left(0|0|0\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac14\bigg|\frac12\bigg|\frac14\right)\quad;\quad K_2\left(\frac14\bigg|-\frac12\bigg|-\frac14\right)$$
Zur Analyse der Kandidaten benötigen wir die Hesse-Matrix, bestehend aus den 2-ten partiellen Ableitungen:$$H(x;y;z)=\left(\begin{array}{rrr}\partial_{xx}f & \partial_{yx}f & \partial_{zx}f\\\partial_{xy}f & \partial_{yy}f & \partial_{zy}f\\\partial_{xz}f & \partial_{yz}f & \partial_{zz}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0\\1 & 12y^2 & -1\\0 & -1 & 2\end{array}\right)$$
Für \(y=0\) sind die Hauptminoren \(2\), \(-1\) und \(-4\), sodass die Hesse-Matrix indefinit ist.
Das heißt, Kandidat \(K_1\) ist ein Sattelpunkt.
Für \(y=\pm\frac12\) lauten die Hauptminoren \(2\), \(5\) und \(8\), daher ist de Hesse-Matrix positiv definit.
Das heißt, die Kandidaten \(K_2\) und \(K_3\) sind lokale Minima.
