Extrema und Sattelpunkte berechnen f(x,y)=(x^2 + y^2)^2 - 2*(x^2 - y^2)

Question

frage steht oben im Titel. Ich habe als Sattelpunkt raus (0,0) Aber mit den Extrema habe ich meine Probleme da bräuchte ich bitte einmal Kontrollergebnisse.

Extrema und Sattelpunkte berechnen f(x,y)=(x^2 + y^2)^2 - 2*(x^2 - y^2)

Answer 1

Hier meine Berechnungen

Deutung
fx ´ ist an 3 Stellen 0 ( Hoch-Tief oder Sattelpunkt )
fx ´= 0 ist bei x = 0
fy ´ ist an 3 Stellen 0 ( Hoch-Tief oder Sattelpunkt )
fy ´= 0 ist bei y = 0

Die zweite Ableitung für
- x = 0 ist -fx ´´ = -4 ( Hochpunkt, Maximum in x-Richtung  )
- y = 0 ist fy ´´´= 4 ( Tiefpunkt, Minimum in y-Richtung )

Die beiden anderen Lösungen haben für fy ´
keine Lösung.

Graphik ( das Ergebnis ist mit etwas Phantasie zu sehen )

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Danke für die Antwort. Mein Problem ist jetzt noch wie ich aus fx=0 und fy=0 die x und y Werte errechne. Die Lösung x=0 und y=0 ist ja durch scharf hinsehen sofort ersichtlich aber auf die andere komme ich einfach nicht. 

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Deine Frage habe ich noch nicht verstanden.

Der Punkt ( 0 | 0 ) hat in
x - Richtung die Steigung null und ist
in dieser Richtung ein Hochpunkt.
y - Richtung die Steigung null und ist in
dieser Richtung ein Tiefpunkt.

Ob man einen solchen Punkt in einer
2-dimensionalen Funktion dann Sattelpunkt
nennt weiß ich nicht.

Was Wolfram alpha ausgerechnet hat weiß
ich auch nicht. Frage einmal bei Lu nach.

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Über die Frage insgesamt bin auch noch am
Nachdenken.

Fest steht : fy ´ ist nur bei y = 0  null.

√ (- x^2 - 1) keine Lösung
-√(- x^2 - 1) keine Lösung
Dies zeigt ein etwas anders eingestellter
Graph auch.

Wie gesagt, ich bin noch am knabbern.

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Für die Linie y = 0 ist auf ganzer Länge
x = -∞ bis +∞ die Steigung null.

y = 0 eingesetzt in die erste Ableitungen
für fx ´
{0,
-√(-(y - 1)*(y + 1))
√(-(y - 1)*(y + 1))

{0,
-√(-(0 - 1)*(1 + 1)) keine weitere Lösung
√(-(0 - 1)*(0 + 1)) keine weitere Lösung

Außer ( x | y ) = ( 0 | 0 )
scheint es keinen Punkt zu geben der
in beide Richtungen keine Steigung hat.

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Hier kann man den Graphen durch beliebiges Drehen aus jeder Richtung betrachten und den Darstellungsbereich ändern:

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=-2&xmax=2&ymin=-2&ymax=2&zmin=Auto&zmax=Auto&f=%28x%5E2%2By%5E2%29-2%2A%28x%5E2-y%5E2%29

Die Bilder in den Antworten sind natürlich ggf. dauerhafter, denn die o.g. Website könnte ja mal schließen.

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Hallo Wolfgang,
du hast in deinem Link als Funktion
(x^2+y^2)^2-2*(x^2-y^2)^2
eingegeben.
Das letzte " hoch 2 " ist zuviel.

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Hallo Georg,

danke für den Hinweis. Werde das korrigieren.

Aber der Plotter ist doch echt gut oder?

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)%3D(x%5E2+%2B+y%5E2)%5E2+-+2*(x%5E2+-+y%5E2)

Damit kannst du Kontrollresultate erstellen. 

Answer 3

Hallo TundraGrad,

> Mein Problem ist jetzt noch wie ich aus fx=0 und fy=0 die x und y Werte errechne.
fx  =  4·x³ + 4·x·(y² - 1) = 0      G1
fy  =  4·y·(x² + y² + 1) = 0        G2
G1 hat offensichlich genau alle Lösungspunkte mit y=0
Eingesetzt in G2
4·x³ - 4·x = 0  ⇔  4x * (x² - 1) = 0
⇔  x = 0  oder  x = ±1
Damit hast du deine kritischen Punkte  (0,0), (1,0) und (-1,0)

Jetzt  f_xx , f_yy  und  f_xy  berechnen und die kritischen Punkte mit diesen Kurzkriterien prüfen:

-------

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                        < 0  → Sattelpunkt

                        = 0    erfordert weitere Betrachtung (kommt hier nicht vor!)
im Fall "Extremum" weiter:
fxx  < 0  →  Hochpunkt
      > 0  →  Tiefpunkt
      = 0  kann nicht vorkommen
--------

Es ergeben sich der Sattelpunkt (0|0)  und zwei Tiefpunkte T_1,2 = ( ±1 | 0 ) 

Noch einmal der Hinweis zum Graph:

http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-funct…

Mit dem Plotter kannst du natürlich auch andere Funktionen f(x,y) plotten.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, der Plotter ist gut.
Mit meinem eigenen Mathprogramm
kann ich 2-dimensionale Funktionen
auch erstellen. kann sie aber ( noch ) nicht
drehen.

Ich weiß bisher noch nicht wie es rein
rechnerisch weitergeht bei
fx  =  4·x^3 + 4·x·(y^2 - 1) = 0    
fy  =  4·y·(x^2 + y^2 + 1) = 0      
Soweit war ich auch schon einmal.

Üblicherweise wäre die Vorgehensweise.
x aus der ersten Gleichung berechnen und
in die 2.Gleichung einsetzen.
oder
y aus der ersten Gleichung berechnen und
in die 2.Gleichung einsetzen.
Da komme ich aber nicht weiter.
Wie geht es ( rein rechnerisch ) weiter ?

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https://www.google.de/search?q=z%3D(x%5E2%2By%5E2)%5E2-2*(x%5E2-y%5E2)&oq=z%3D(x%5E2%2By%5E2)%5E2-2*(x%5E2-y%5E2)&aqs=chrome..69i57j0l4.4649j0j8&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Das da oben funktioniert in einigen aktuellen Browsern tadellos. Möglicherweise (zum Beispiel auf Telefonen) muss man geeignete Einstellungen vornehmen.

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Hallo Georg,

das habe ich doch in der Antwort geschrieben:

die zweite Gleichung hat genau die Lösungen (x|0) mit beliebigem x∈ℝ (Nullproduktsatz)

Jetzt muss man nur noch in G1  y=0  einsetzen und die passenden x-Werte x-Werte ausrechnen.

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Hallo Wolfgang,
ich habe meine Lösung ( 0 | 0 ) durch Anschauung
meiner Grafik gefunden. Leider ist dies nur 1 Lösung.

Halte mich bitte nicht für übermäßig pingelig
aber ich kann deine Lösung nicht nachvollziehen.

Mein Kenntnisstand entspricht noch immer

Ich weiß bisher noch nicht wie es rein
rechnerisch weitergeht bei
fx  =  4·x^3 + 4·x·(y^2 - 1) = 0   
fy  =  4·y·(x^2 + y^2 + 1) = 0     

fx  =  4x * ( x^2 + y^2 - 1) = 0  => x = 0
fy  =  4·y·(x^2 + y^2 + 1) = 0  => y = 0

x^2 + y^2 - 1 = 0 
x^2 + y^2 + 1 = 0 

Widerspruch ?
Wo steckt der Fehler ?

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4·y·(x^{2} + y^{2} + 1) = 0  ⇔ y = 0 oder x^{2} + y^{2} + 1 = 0 ⇔ y=0

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Hallo Georg,

G2 ⇔ y=0

Das Gleichungssystem G1 und G2 ist also gleichwertig mit

G1 und y=0

und das ist doch durch Einsetzen einfach lösbar